| 研究課題/領域番号 |
20K14314
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
安本 真士 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究員 (70770543)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 離散微分幾何 / 可積分系 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は主に以下の成果を得た．
[1] Mason Pember氏（フロリダ州立大学ロンドン校），Denis Polly氏（ウィーン工科大学）と共同で前年度から取り組んでいた，離散曲面の種々のクラスに対するWeierstrass型の表現公式の統一的導出法に関する論文が完成し，国際誌に投稿した．査読者から軽微な修正を求められているため，直ちに修正版を再投稿する予定である．
[2] 軸丸芳揮氏（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）と共同で，3次元ユークリッド空間内の離散極小曲面の変形に取り組んだ．応用として，変形後の離散極小曲面に対応する離散正則関数の満たす条件式を得ることに成功し，また変形後の離散極小曲面の漸近的振る舞いに関して興味深い現象が見られることを実験的に得た．これを理論的に解析するのが今後の課題である．
[3] 前年度からの継続課題として，3次元ローレンツ空間型内の離散平均曲率一定曲面の構成法に関する研究に取り組んだ．今年度は，残されていた3次元反ド・ジッター空間の任意の離散平均曲率一定曲面の構成法が得られることを示した．離散平均曲率一定曲面を構成する際に用いる離散版岩澤分解の振る舞いがリーマン空間型の場合と本質的に異なるため，得られる曲面の振る舞いにも大きく影響を与えていることが本研究の興味深い点である．
これらに加えて，2022年3月に第13回日本数学会季期研究所「微分幾何と可積分系」をはじめとした数件の研究集会・スクールをオンラインまたは対面オンラインの併用で開催し，本研究課題に係る最新の研究の情報収集や普及に努めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度に引き続き，新型コロナウイルス感染症拡大の影響を受けて，海外出張や外国人研究者招聘の予定は全てキャンセルとなったため多少の研究計画の変更は必要となった．その一方で，投稿論文について極めて肯定的なレポートが返ってきたことは，本研究課題で取り組んでいる問題が高く評価されていると考えられる．また，上記[2]で述べた内容は，単に新しい離散極小曲面を構成するだけでなく，その応用として対応する非自明な離散正則関数を得られるということが実に興味深い．
以上より，研究計画を若干見直す必要があったものの，その結果として研究の新たな方向性を見出し，本研究課題がより実りの多いものとなったことから，おおむね順調に進展していると判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは1年目と2年目に得られた研究成果を論文に取りまとめて投稿する．また離散極小曲面の変形から得られる新たな離散正則関数と対応する離散曲面の漸近的振る舞いについて今後更なる検証を行う．また1年目に得られた，3次元双曲空間内の離散平均曲率一定1曲面の双曲ガウス写像から構成される新たな離散正則関数の研究なども用いて，Weierstrass型の表現公式を持つ離散曲面とその漸近的振る舞いに関する解析を進めていく．同時に，DPW法と呼ばれる，可積分系のアプローチを用いた平均曲率一定曲面の構成法の創始者の1人であるFranz Pedit教授（マサチューセッツ大学アマースト校）が2022年3月末から3か月間京都大学数理解析研究所に滞在されていることから，申請者が取り組んでいる離散DPW法に関して研究の議論を進めていく．
現在の新型コロナウイルス感染症拡大の収束状況次第では，研究代表者が海外研究機関に赴く，あるいは外国人研究者を国内に招聘し，共同研究を行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響を受けて，研究代表者自身の今年度の海外出張，および今年度開催予定であった数件の国際研究集会がオンラインもしくは対面オンラインの併用開催となったため，当初使用予定であった海外出張旅費，および外国人研究者招聘費用が全て使えなかった．また代表者が組織委員として加わった国際研究集会等を実施するために購入予定であった機材は他研究機関よりご提供いただいたため，次年度使用額が生じた．2022年度中に2，3名の外国人研究者を1か月程度国内に招聘するための旅費，研究代表者が提案し採択された，2022年度大阪公立大学数学研究所共同利用・共同研究「微分幾何と可積分系」（区分：国際共同研究）の活動の一環として開催する国際研究集会開催に係る国内研究者招聘旅費，さらに今後の状況によっては，研究代表者が海外共同研究者との研究打ち合わせのための海外出張旅費として使用する．
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