非自己共役ハミルトニアンから生成される量子力学系の研究とその応用

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K14335
• 研究機関: 第一薬科大学
• 研究代表者: 井上 寛 第一薬科大学, 薬学部, 助教 (60791027)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 双準直交系 / 一般化リース系 / 非自己共役ハミルトニアン / ギブス状態 / 冨田・竹崎理論 / 非有界冨田・竹崎理論

研究実績の概要

実施した研究の成果では、先行研究である非有界作用素を用いた非自己共役ハミルトニアンの構成に関する研究において、一般化リース系の概念とヒルベルト空間の要素列と正規直交基底のテンソル積で定義される閉作用素が重要な役割をすることがわかった。この先行研究の発想と成果を活かし、非自己共役ハミルトニアンとそれから生成される量子力学系の関連性を見出すことができた。
その理由として、本研究の難しいところであり、学術的独自性とその創造性を有するところである、有界作用素ではなく非有界作用素を用いているときに有する問題点を克服できるのではないかという成果を得られたからである。
具体的には、有界作用素を用いたときにはない、定義域の問題があり、非自己共役ハミルトニアンをどのように定義し、その非自己共役ハミルトニアンから生成される量子力学系をどのように定義することが自然であるのかを考える必要がある。非自己共役ハミルトニアンから生成される量子力学系をどのように定義することが自然であるのかという問題を解決することができた。また、さらに、この量子力学系と通常の自己共役ハミルトニアンから生成される量子力学系との違いを精査し、最も自然で最適な仮定のもとでこの量子力学系の性質を調べることができた。
この研究は、量子物理で重要である非有界冨田・竹崎理論と関係があると思われる。このことから、非有界冨田・竹崎理論を詳細に調べ、この研究を発展させていくことができた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究課題を遂行する上で、論文"Non-self-adjoint Hamiltonians defined by sesquilinear forms and their physical applications"をJournal of Mathematical Physics (61, 053504)にて採択された。この研究は、（正）準形式から定義した非自己共役ハミルトニアンとそれに関わる物理作用素に関する性質と、一般化リース系との関係性について研究しており、本研究課題を推進させている。
また、論文"Order structures of (D,E)-quasi bases and constructing operators for generalized Riesz systems"をReports in Mathematical Physics, (86, 39-61)にて採択されている。この研究では、（D,E）擬基底に関する順序集合と、先行研究で研究した一般化リース系を構成する構成作用素の順序集合との関係性について研究したものであり、一般化リース系の性質を詳しくみることができた。
さらに、論文"Gibbs States, Algebraic Dynamics and Generalized Riesz Systems"をComplex Analysis and Operator Theoryにて採択された。この研究は、本研究課題を直接深く関わる成果であり、本研究課題はおおむね順調に進展していると考えられる。

今後の研究の推進方策

論文"Gibbs States, Algebraic Dynamics and Generalized Riesz Systems"を基に、さらに一般化リース系から構成された非自己共役ハミルトニアンと量子力学系の関係を見ていく必要がある。そのために、一般化リース系から構成された非自己共役ハミルトニアンから生成とクライン空間の性質と関係性を詳しく研究していく。また、本研究課題はこの研究は、量子物理で重要である非有界冨田・竹崎理論と関係があることがわかった。このことから、さらに非有界冨田・竹崎理論を詳細に調べることにより、今後の研究を推進していく予定である。

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由は、コロナ渦で生じた計画の変更である。ただし、この額は少額であり、次年度の研究計画を大幅に変更することはないので、翌年度分として請求した助成金と合わせた使用計画を変更する予定はない。

研究成果

• [国際共同研究] Palermo University(イタリア)
  • 国名: イタリア
  • 外国機関名: Palermo University
• [国際共同研究] Palermo University(イタリア)
  • 国名: イタリア
  • 外国機関名: Palermo University
• [雑誌論文] Non-self-adjoint Hamiltonians defined by sesquilinear forms and their physical applications (2020)
  • 著者名/発表者名: Inoue Hiroshi
  • 雑誌名: Journal of Mathematical Physics 巻: 61 ページ: 053504～053504
  • DOI: 10.1063/1.5135946
  • 査読あり
• [雑誌論文] Order Structures of (D,E)-Quasi-Bases and Constructing Operators for Generalized Riesz Systems (2020)
  • 著者名/発表者名: Inoue Hiroshi
  • 雑誌名: Reports on Mathematical Physics 巻: 86 ページ: 39～61
  • DOI: 10.1016/S0034-4877(20)30056-2
  • 査読あり
• [雑誌論文] Gibbs States, Algebraic Dynamics and Generalized Riesz Systems (2020)
  • 著者名/発表者名: Bagarello F.、Inoue H.、Trapani C.
  • 雑誌名: Complex Analysis and Operator Theory 巻: 14 ページ: 1～25
  • DOI: 10.1007/s11785-020-01036-9
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [学会発表] 非自己共役ハミルトニアンとその周辺 (2021)
  • 著者名/発表者名: 井上 寛
  • 学会等名: 2020 RIMS共同研究 量子場の数理とその周辺
• [学会発表] 双準直交系から構成される非自己共 役ハミルトニアンと準線形形式に関 する研究 (2020)
  • 著者名/発表者名: 井上 寛
  • 学会等名: 日本数学会2020年度秋季総合分科会, 熊本大学(online)