| 研究課題/領域番号 |
20K14351
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| 研究機関 | 釧路工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
若狭 恭平 釧路工業高等専門学校, 創造工学科, 講師 (60783404)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 非線型波動方程式 / 解の爆発 / 時間大域解 / ライフスパン |
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| 研究実績の概要 |
2021年度は、特性方向の重み関数を非線形項にもつ１次元波動方程式の古典解の最大存在時刻の評価について研究を行った。なお本研究は、高村博之氏（東北大学大学院理学研究科・教授）と北村駿介氏（東北大学大学院理学研究科・博士課程）との共同研究によるものである。非線形波動方程式の解のライフスパン（解の最大存在時刻）の下からの評価を、空間の次元と非線形項の指数に関して分類することが一般論の構築である。この一般論を非自励系へと拡張することが本研究の動機である。一般的に、波動方程式の解の各点的な評価は、特性方向の要素である t+|x| と t-|x| (tは時間、xは空間) の減衰で表現される。従って、非線形項にこれらの重みを導入することで、解のライフスパンの評価が重み関数がない場合のそれと比べてどのように変化するのかを調べるために特性方向の重みを導入した。更に、初期値の台のコンパクト性から導かれる解の有限伝播性から、t+|x| は 時間減衰の重みと同値である。このことから、Scale invariant な消散項をもつ波動方程式の特殊な場合の結果を包括する目的もある。
以上の研究目的の下、我々は、既存の結果で扱われた空間変数の重みをもつ場合と比べて、波動方程式の解の特性を良く捕らえた結果を得ることができた。具体的には、初期速度の積分量が非ゼロの場合はホイヘンスの原理が成立しないため、ライフスパンの評価は同等であるが、積分量がゼロの場合はホイヘンスの原理が成立するため、ライフスパンの評価に決定的な違いが生じる。すなわち、特性錐の内側と外側の領域において解のオーダーが異なることから、空間変数と特性方向の変数の重み関数の主要部がこれらの領域に影響し、ライフスパンの評価に違いが生ずることが判明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の１つの、シュバルツシルト時空の計量を導入した非線形波動方程式の解の爆発解析への応用が期待されるため、上のような進捗状況であると判断をした。それは次のような理由である。べき乗型の３次元半線形波動方程式に対して、シュバルツシルト計量を導入し、Regge&Wheeler座標を施すと、ポテンシャル項と非線形項に重み関数を備えた１次元非線形波動方程式が得られる。ブラックホールの近くとそれ以外のところにおいて、ポテンシャル関数と重み関数の挙動が大きく異なっているところに方程式の特色がある。より具体的には、ブラックホールの近くでは指数関数的な減衰の振る舞いであり、それ以外では多項式的な減衰の振る舞いをしている。本年度の研究で取り扱った特性方向の重み関数は、時間変数と空間変数に関する一次結合の形を取り扱っているため、様々な形の重み関数を包括していると言える。従って今後、色々な重み関数をもつ場合を取り扱ったとしても、ライフスパンの評価がある程度見通しがつくことがわかった。これは、シュバルツシルト計量をもつ波動方程式に関わらず、非線形項へ影響がある、その他の計量を導入した方程式に対しても手法が応用できる可能性を示唆している。加えて、一般論の拡張を試みる際には、様々な非線形性（時間微分の非線形性など）をもつ問題を考察することが要請されるため、本研究の応用が期待される。従って、本年度の研究は今後の研究に重要であることがわかる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究については前述の通り、第一にシュバルツシルト時空での解の爆発解析を行う。この問題に関連して、特性方向の変数を係数関数として消散項にもつ半線形波動方程式の解の爆発解析を行う。本年度行った研究から、非線形項に特性方向の重み関数の影響がある場合の解の挙動の理解ができたため、今後は消散項にこれらの影響がある場合の解挙動を考察したいというのが研究の動機である。これらの問題については未だ解析が難しいところがある。なぜなら、線形方程式の主要部の解挙動を観察しなければならないからである。困難さを解決する手法として有効なのが、Borislav Yordanov 氏と2019年に行ったテスト関数の方法である。重要なところは、線形方程式の解挙動をつかむためのテスト関数の構成である。具体的には、conjugateな方程式の解挙動を調べる必要がある。以上述べた研究手法を用いながら、研究目的達成のため研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナの影響により、研究集会参加への国内・海外出張旅費の使用ができなくなったため、次年度に使用する計画となってしまった。
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