| 研究課題/領域番号 |
20K14355
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
劉 逸侃 北海道大学, 電子科学研究所, 助教 (70773084)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 非整数階拡散-波動方程式 / 非局所性 / 逆問題 / 一意性・安定性 / 数値解析 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は非整数階拡散方程式を中心に展開した先行研究の結果を踏まえ、関連する数値解析を行い、非整数階拡散-波動方程式の定性的な特徴づけを解明し、数種類の逆問題の一意性理論を構築した。
1. 時間微分回数が1以下である非整数階拡散方程式に対し、源泉項が変数分離の形をした場合、その空間成分を解の最終時刻における観測データから決定する問題については、解析Fredholm理論を用いて条件付き一意性を示した。すなわち、高々可算個の除外点を除き、未知関数が観測データによって一意的に決められることを証明した。また、同じ問題設定で、解の部分内部領域における観測データによって源泉項の空間成分を数値的に再構成する問題については、離散化された最適化問題の解の存在性、安定性および収束性を示し、反復法に基づく効率的な数値スキームを開発し、空間2次元までの数値例で検証した。これらの研究結果は理論上で重要でありながら、汚染物質の発展パターンの識別や汚染源の特定などの環境問題への応用も期待できる。
2. 時間微分回数が1以上で2以下である非整数階拡散-波動方程式に対し、解の定性的な性質の1つとして重要な「一意接続性」を確立した。すなわち、解の局所的なデータより大域的な情報が一意的に決まることを証明した。この結果は時間微分回数が1以下に対する先行研究を拡張し、時間微分回数が2である波動方程式と決定的に異なることを意味する。さらにその応用として、源泉項が既知のベクトルに沿って平行移動し、その形状が未知の場合、境界付近の観測データによって形状を特定する問題について、一意性を証明した。特に階数が1以下のとき、一つの形状を特定できるが、階数が1以上で2以下の場合、移動方向が異なる二つの形状を同時に特定できることを示した。また、上記1と類似した反復法に基づく数値スキームを考案し、収束性を示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非整数階拡散-波動方程式に対する研究は、数学理論および数値解析の双方で着実に深化している。特に「一意接続性」の確立は、時間微分回数1を跨る統合した理論の完成を示唆し、当初の計画より進んでいる。また、従来の枠組みを包含する逆問題の設定に取り組み、理論解析と数値解析が順調に遂行している。しかし、解の幾何学的およびエネルギーの側面は予想より準備を要し、次年度に着手する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今まで得られた成果から示唆を受け、非整数階拡散-波動方程式の適切性に関する結果を補完し、特に解の形状および保存量による特徴づけを調べる。具体的には、既存の結果をサーベイした上、さらに一般な方程式の定式化に着眼し、先行研究および非整数階拡散方程式と整合した解の一意存在性と安定性の理論を構築する。また、符号変化およびエネルギー保存の観点から解の振る舞いを見極め、拡散方程式と波動方程式との関係を解明する。
一方、逆問題においては、時間微分回数の境目である1を跨り、非整数階発展方程式に統一した手法を駆使し、観測データと未知関数の多種な組合せに取り組む。具体的には、一意接続性など順問題の性質を総合的に応用し、（移動する）源泉項の空間分布、時間推移またはその両方を決定する問題の一意性・安定性を示し、有効な数値解法を開発したい。また、方程式に内在する複数の係数の同時決定について、なるべく少ない観測データによる一意性および特徴づけの可能性を探りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの影響で、当初計画した出張がほぼ全部取り止めた。予定していた旅費がほとんど使えなかったため、次年度使用額が生じた。
今年度の使用計画については、新型コロナウイルスの今後の情勢によって変わることが予想される。ある時期から新型コロナウイルスが収まり、出張制限が緩和される場合、国内における学会参加と研究打ち合わせを中心に出張を計画する。年度末まで新型コロナウイルスの収束が見込めない場合、予定していた旅費の一部を物品（書籍、計算機器など）購入に転用する。また場合によって、次年度に繰り越すことが考えられる。
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