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2020 年度 実施状況報告書

流体問題および関連した境界値問題に対する適切性・正則性・数値解法の妥当性の研究

研究課題

研究課題/領域番号 20K14357
研究機関東京大学

研究代表者

柏原 崇人  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (80771477)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2024-03-31
キーワードナビエ・ストークス方程式 / プリミティブ方程式 / 動弾性体方程式 / 接触・摩擦境界条件 / 領域摂動誤差
研究実績の概要

(1) 大気や海洋のように,水平方向のスケールが垂直方向のスケールよりも大きな場合,流体の運動を表すナビエ・ストークス方程式から静水圧平衡を満たすプリミティブ方程式が導出される.この議論は形式的な次元解析によって行われていたが,我々はその近似の数学的正当化を証明した.より正確に述べると,水平方向と垂直方向のスケールの比(アスペクト比)が0になる極限において,拡散係数が異方的なナビエ・ストークスの解がプリミティブ方程式の解に収束することを示した.

(2) シニョリーニ接触条件やクーロン摩擦条件は,弾性体力学の接触問題の定式化に用いられる基本的な境界条件である.ともに定常問題ではよく研究されている一方で,非定常問題の解析は格段に難しくなり,解の存在や一意性は未解決問題である.我々は,速度を含むようなシニョリーニ型条件を提案し,クーロン摩擦をトレスカ摩擦に単純化した問題であれば,解の存在と一意性が得られることを証明した.

(3) Stokes-Darcy問題において滑らかな界面を考え,Beavers-Joseph-Saffman条件を課した問題を考察した.界面に沿って接方向の流速は一般に不連続となることから,数値解法にもその不連続性を反映する必要がある.我々は,ペナルティー法またはニーチェの方法と区分一次の不連続有限要素を組み合わせた数値計算スキームを開発した.さらに滑らかな界面を近似することで生じる領域摂動誤差も考慮した誤差評価を証明した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

(1)では,ナビエ・ストークス方程式において静水圧近似を課したものがプリミティブ方程式であるという直観的な理解を数学的に正当化することができた.また,(2)ではこれまで研究が極めて少なかった時間発展する弾性体の接触・摩擦境界条件問題に対して適切性の結果を与えることに成功した.(3)では,滑らかな領域上の有限要素法の解析においてこれまで開発してきた手法を応用し,境界値問題よりも複雑な界面問題に対する結果を得ることができた.

今後の研究の推進方策

今後は,摩擦型境界条件の研究については,動弾性体問題の解析を継続するとともに,ナビエ・ストークス方程式において最大正則性型の評価を得ることを目標にする.さらに,ストークス方程式の摩擦型境界条件問題に対する有限体積法の研究を行う.これとは別のトピックとして,有限要素法において準一様性を課さない三角形分割上で最大値ノルムやLpノルムによる誤差評価を導く研究も進めていく.

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルス感染症の影響により,2020年度は国内及び外国旅費への支出がなかったため,次年度使用額が生じた.2021年度以降,対面による通常の研究活動が再開されるのに伴って,旅費への支出を行う予定である.ただし,状況次第ではさらに翌年度以降に支出を先送りする可能性がある.

  • 研究成果

    (8件)

すべて 2021 2020

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 2件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] The Crouzeix?Raviart element for the Stokes equations with the slip boundary condition on a curved boundary2021

    • 著者名/発表者名
      Zhou Guanyu、Oikawa Issei、Kashiwabara Takahito
    • 雑誌名

      Journal of Computational and Applied Mathematics

      巻: 383 ページ: 113123~113123

    • DOI

      10.1016/j.cam.2020.113123

    • 査読あり
  • [雑誌論文] An analysis on the penalty and Nitsche's methods for the Stokes?Darcy system with a curved interface2021

    • 著者名/発表者名
      Zhou Guanyu、Kashiwabara Takahito、Oikawa Issei、Chung Eric、Shiue Ming-Cheng
    • 雑誌名

      Applied Numerical Mathematics

      巻: 165 ページ: 83~118

    • DOI

      10.1016/j.apnum.2021.02.006

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Pointwise error estimates of linear finite element method for Neumann boundary value problems in a smooth domain2020

    • 著者名/発表者名
      Kashiwabara Takahito、Kemmochi Tomoya
    • 雑誌名

      Numerische Mathematik

      巻: 144 ページ: 553~584

    • DOI

      10.1007/s00211-019-01098-8

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Stability, analyticity, and maximal regularity for parabolic finite element problems on smooth domains2020

    • 著者名/発表者名
      Kashiwabara Takahito、Kemmochi Tomoya
    • 雑誌名

      Mathematics of Computation

      巻: 89 ページ: 1647~1679

    • DOI

      10.1090/mcom/3500

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The hydrostatic Stokes semigroup and well-posedness of the primitive equations on spaces of bounded functions2020

    • 著者名/発表者名
      Giga Yoshikazu、Gries Mathis、Hieber Matthias、Hussein Amru、Kashiwabara Takahito
    • 雑誌名

      Journal of Functional Analysis

      巻: 279 ページ: 108561~108561

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2020.108561

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Rigorous justification of the hydrostatic approximation for the primitive equations by scaled Navier?Stokes equations2020

    • 著者名/発表者名
      Furukawa Ken、Giga Yoshikazu、Hieber Matthias、Hussein Amru、Kashiwabara Takahito、Wrona Marc
    • 雑誌名

      Nonlinearity

      巻: 33 ページ: 6502~6516

    • DOI

      10.1088/1361-6544/aba509

    • 査読あり
  • [学会発表] The semigroup and maximal regularity approach to the primitive equations2020

    • 著者名/発表者名
      Takahito Kashiwabara
    • 学会等名
      Oberwolfach MFO-Webinar on Mathematical Advances in Geophysical Flows
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Unique solvability of a crack problem with Signorini-type and given-friction conditions in a linearized elastodynamic body2020

    • 著者名/発表者名
      Takahito Kashiwabara
    • 学会等名
      2nd Russia-Japan Workshop: Mathematical analysis of fracture phenomena for elastic structures and its applications
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2021-12-27  

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