| 研究課題/領域番号 |
20K14359
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
佐藤 寛之 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (80734433)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 最適化 / リーマン多様体 / 共役勾配法 / 指数写像 / レトラクション |
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| 研究実績の概要 |
令和4年度は，リーマン多様体上の最適化問題に対するアプローチとして，特に共役勾配法に関する2編の論文を発表した．
一つは，リーマン多様体上の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究である．この研究では，これまで様々に研究されてきたユークリッド空間やリーマン多様体上の共役勾配法を統一するような一般的な枠組みを与え，適切かつ自然な仮定の下で提案アルゴリズムの大域的収束性を詳細に解析した．また，数値実験においては，2つのグラスマン多様体の直積により構成される500万次元を超える多様体上の最適化問題や，リヤプノフ方程式の解法として一定サイズの正定値対称行列全体からなる多様体上の最適化問題を扱い，大規模問題に対する提案手法の有効性の実証も行った．
もう一つの研究では，ユークリッド空間上の共役勾配法の中でも注目を集めている Hager-Zhang (HZ) 型の共役勾配法について，そのリーマン多様体への拡張を詳しく議論した．先述の共役勾配法の一般的な枠組みについての研究では，多様体上の点列の更新の際にレトラクションと呼ばれる写像を用い，探索方向の計算の際にはある接空間から別の接空間への一般的な写像を用いた．一方，この研究ではそれらの特別な場合として，点列の更新では指数写像を用い，探索方向の計算ではその微分を用いる手法を提案した．また，リーマン幾何学におけるガウスの補題を効果的に用いることで提案手法の大域的収束性を証明した．さらに，レイリー商最小化問題や無向グラフの安定数を求める問題を超球面上の最適化問題と捉え，数値実験によりこれらの問題を解くことで，提案手法が既存手法より優れた性能を発揮することを実証した．
これら2つの研究はいずれも，リーマン多様体上の大規模な最適化問題の求解に大きく貢献するものである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」で述べた通り，令和4年度はリーマン多様体上の共役勾配法についての研究を大きく進展させることができた．特に，今年度の大きな目標であった，共役勾配法の一般的な新しいクラスについての研究を完成させることができた．共役勾配法は1次の手法であり，問題の規模が大きくなっても1反復の計算が複雑になりすぎず，実用的である．したがって，当初の研究実施計画通り，リーマン多様体上の大規模な最適化問題への応用を見据えた理論を展開することに成功している．
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度は，n次元ユークリッド空間においてp-ノルムを用いて定義される単位超球面上の最適化問題についての研究を，論文として発表できる見込みである．この理論は非負主成分分析や正則化項付き最適化問題に対する新たなアプローチとなり得るもので，その実用的な応用も見据えた研究の推進を目指す．
さらに，シンプレクティック固有値問題などへの応用があるシンプレクティックシュティーフェル多様体上の最適化問題についても，その効率的な解法の研究を進める計画である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和4年度は，令和3年度に引き続き，新型コロナウイルス感染症の流行の影響により一部の学会や研究集会はオンライン開催・ハイブリッド開催であったため，旅費の支出が当初の予定より少なくなり，次年度使用額が生じた．次年度使用額については，令和4年度より多く必要になると予想される旅費として使用する他，本研究課題に関連する書籍の購入や，論文の執筆・出版に係る経費として使用する計画である．
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