| 研究課題/領域番号 |
20K20284
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
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| 研究分担者 |
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
丸田 薫 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (50260451)
服部 裕司 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (70261469)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 圧縮性粘性流体 / ナビエ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 時間大域解 / 適切性 / 臨界空間 / 最大正則性 |
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| 研究実績の概要 |
研究代表者の小川は半空間における熱方程式の非斉次Neumann境界条件に対する時間L^1-最大正則性を得ることにより, 半空間のStokes 方程式のstress free境界条件の場合の非斉次問題に適用し, Stokes 方程式の初期値境界値問題に対する時間 L^1-最大正則性を示し, その結果から非圧縮性粘性流体方程式の自由境界問題の小さい解の時間大域的適切性が得られることを示した, 一連の仕事の概要をまとめたサーベイ論文を発表し2021年度中に掲載受理された. この結果から自由な界面を持つ粘性流体の時間大域的な挙動をスケール臨界不変な函数空間で捉えてその適切性が解明されることが期待される. 実際の自由境界問題に対してはさらに詳細な非線形解析が必要であり, 現在その成果のとりまとめを行っている.
分担者の岩渕 司氏と共同で空間2次元での圧縮性Navier-Stokes 方程式の等エントロピー条件の下での, 時間局所適切性の限界空間をスケール不変な斉次Besov 空間において考察し, 方程式が適切とならずに初期条件との強い不連続性を発生させる初期条件を提示してすべての可積分指数pでの臨界空間での端点非適切性を示した.この問題は燃焼系の燃料から発生するガスの挙動を支配する圧縮性粘性流体の適切性に関わる理論限界を明確にしたもので, 2次元空間においては3次元空間でこれまでに得られていた結果よりもはるかに狭い空間で解が安定に構成できないことを示している.
なお半空間における, 熱方程式の初期値境界値問題と連動して, プラズマ燃焼に関わる, 半空間における非線型シュレディンガー方程式の初期値境界値問題に対して, 非斉次Dirichlet 境界条件, および非斉次Neumann境界条件を課した上で, その時間大域解の存在を 林 仲夫氏とElena Kaikina氏と共同で研究した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
燃焼の動的構造を探る上で欠かせない圧縮性粘性流体の方程式に対する臨界空間の適切性, 非適切性については順調な成果を得ている. とりわけ圧縮性粘性流体のスケール臨界適切性については空間3次元以上で限界の指数が非適切となることを示すことができたほか, 空間2次元の理想気体の場合には想定される函数空間よりも狭い設定でも初期値連続依存性が破綻することが判明した.
一方, 非圧縮性粘性流体の表面運動を含めた系を支配する非圧縮性Navier-Stokes方程式の, スケール臨界理論において重要な役割を果たすものと期待される, Stokes 方程式の最大正則性理論を臨界空間で得ることができた. 特に流体の界面運動に関わる挙動を時間大域的に制御するためには, 内部の粘性流体方程式とともに, 境界面での動的挙動に対応する成分の研究が不可鉄であるが, 時間大域的挙動を制御する上で重要となる, 時間指数端点最大正則性を一般の変数係数放物型問題の初期値境界値問題の場合に確立できた (JEE 2021年掲載済み). このため圧縮性・非圧縮性粘性流体のもんだ引退する動的境界の挙動制御が今後可能となる可能性がある. このように流体運動の研究においては順調な研究が進んでいる.
またプラズマや太陽コロナなどに関連するHall効果付きの圧縮性粘性流体の研究は, 空間遠方に磁場が存在するより複雑なケースにおいて, 問題の適切性を議論することが可能となった. 今後これらの解の挙動を研究する上で重要な土台となるものと期待される.
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| 今後の研究の推進方策 |
燃焼を司る動的支配方程式である圧縮性Navier-Stokes方程式の適切性と非適切性に対して, Fujita-Katoの原理で考えられる適切性の限界についてほぼ最終的な成果を得た. さらに空間2次元では3次元の結果よりもさらに狭い空間で適切性が破綻することが判明した. これは従来から予想し得ない結果である. この結果の背後に, 燃焼の非常に単純なモデル方程式である非線形熱方程式のスケール臨界空間における正値解の非適切性の結果が反映しており, 支配方程式の構造が大きく異なるにもかかわらず共通の数理を発見できた. このことにより燃焼モデルと圧縮性粘性流体の相互作用が生じる場合に, 共有される数学的枠組みが設定しやすくなる. 今後はこのような共通の構造の解明を進めるとともに, 境界がある場合に対して同様な問題に対して研究を進める.
また燃焼の局所的な挙動に関連して解の集中現象が挙げられる. 燃焼の過程において, 特異的な燃焼と考えられる異常発火は燃焼過程の動的挙動を支配する偏微分方程式の解が, 集中する現象として捉えられる. 関連する問題(移流拡散モデル)における解の集中現象について研究を進める.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウイルス感染症の拡大と国際交流の実施性の困難さから種々の国際共同研究に基づく研究集会の開催が困難となったから.
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