| 研究課題/領域番号 |
20K20424
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| 配分区分 | 基金 |
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | de Rhamの定理 / ディフェオロジー / スペクトル系列 |
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| 研究実績の概要 |
初年度の研究に引き続き，今年度は課題Iの「ディフェオロジカル空間 (diff-空間)に対するde Rhamの定理の定式化とその証明」を考察し，単体的de Rham複体を導入することで課題I研究を完成させた。まず，Souriauによるde Rham複体と本研究で導入した単体的de Rham複体ををつなぐ「因子写像」と上述のde Rhamの定理を組み合わせることで，diff-空間が特別なクラスに属す場合，Souriauによるde Rham ホモロジーとキュービックコホモロジーの間の積分写像が次数付き代数としての同型になることを示した。特別なクラスには多様体，Kreckの階層体と岩瀬--泉田の意味の滑らかなCW複体が含まれる。またChenの反復積分と因子写像の合成が多様体のループdiff-空間の単体的de Rham複体とバー構成の間の擬同型を与えることを示した。この新しいde Rham複体を用いてさらにLeray--Serreスペクトル系列とEilenberg--Mooreスペクトル系列を構成した。その構成に関しては，Christensen-Wuの意味のファイブレーションの場合は単体的集合的考察に現れるDress構成が適用できるが，ループファイブレーションの場合はホモトピー引き戻しの利用により可微分リフトの存在を示したことが鍵となった。両スペクトル系列の応用としてirrational torusに付随するdiff-空間の自由ループ空間の単体的de Rhamコホモロジーを完全に決定した。実際，そのコホモロジーはChenの反復積分写像の像で得られる元により完全に記述できることになる。これらの結果を論文としてまとめ，学術雑誌Indagationes Mathematicaeに発表した。また今年度は，因子写像のディフェオロジーにおける振る舞いをさらに解明し，de Rham理論の「複線化」を進めるための研究に着手した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
2021年度中に完成予定の課題I研究が半年以上前倒しで完成し，さらに関連研究を遂行することが可能になった。2019年度中に整備した単体的de Rham複体の(1)拡張可能性や(2)非輪状性によりディフェオロジーにおけるde Rhamの定理の証明が完成した。同時にこの新de Rham複体が「研究業績の概要」で述べたスペクトル系列の構成やChen 反復積分のディフェオロジー版の構築に役立つことになる。さらに，diff-空間の非単連結空間の有理ホモトピー論の枠組みを構築するうえで，単体的de Rham複体の持つ(1)(2)の性質が利用可能であることがわかってきた。課題 II 「ディフェオロジカル de Rham ホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」の核心に迫る部分として重要な情報を得たことになる。
2月または3月に岡山で開催を計画していた国際研究集会Building-up Differentiable Homotopy Theory 2021はコロナ禍のため中止とした。しかし，本研究に関連する情報収集のためにEnxin Wu (汕頭大学, 中国)主催によるウェナーに参加し講師のPatrick Iglesias-Zemmour(ヘブライ大学, イスラエル)を始め参加者との議論を行ってきた。結果としてSouriauの微分形式に関するde Rham計算を因子写像を経由して単体的de Rham複体上に持ち込む方法・手続きの「鍵」を得た。コロナ禍の中，ウェビナーやweb状での研究コミュニティーの確立など新しい研究形態の模索が始まっている。以上の理由により「当初の計画以上に進展している」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
多様体の場合はSouriau による de Rhamコホモロジーと本研究で導入した新しい特異de Rhamコホモロジーは同型になるが，一般的なディフェオロジカル空間(diff-空間)に対しては同型にはならない。その「差」を測るために，令和２年度からはIglesias-Zemmourが導入したCech-de Rhamスペクトル系列を用いて２つのde Rhamコホモロジーの比較を行ってきた。特に令和３年度はその考察の中から，Cechコホモロジーには現れるがSouriauによるde Rhamコホモロジーには現れない幾何学的な情報であるバンドルの分類元(特性類)に着目する。この特性類を特異de Rham複体やそのコホモロジー上で特定する研究を進め論文をまとめる計画である。de Rham計算の複線化のためには，オリジナルと新de Rham 複体の違いを探ることが必要になる。そのためにも因子写像が上述の特性類を検出するかどうかを確認することが必要となる。
令和４年度は，課題IIをの完成を目指し非単連結空間の有理ホモトピー論をモデルに，単体集合上の局所系を用いてファイバーワイズ有理化の概念を適用し，diff-空間の(実)有理ホモトピー論構築のための研究に進む計画である。「現在までの進捗状況」で述べたように課題IIを完成させるための道具・枠組みは整ってきた。
本研究を着実に遂行するため研究課題に関連する研究交流や情報収集が必要である。そのために，令和３年度４年度の，オンラインまたはハイブリッド研究集会およびセミナーを企画・開催する計画である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍のため国内外から研究者を招へいして研究研究集会・セミナーを開催することができなかった。主にオンライン開催のための機器整備や謝金に予算を使用したが，全体的な研究計画の変更を余儀なくされた。次年度以降はこの状況が改善されることを念頭に研究集会開催のため予算を利用する。同時に改善されない場合を考慮し，また新しい研究形態の確立に向けてオンライン及びハイブリッド対応のセミナー・研究集会のための機器整備も進める計画である。さらに研究を確実に遂行するためバイアウト制の利用により教育補助者の雇用も行う計画である。
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