| 研究課題/領域番号 |
20K20519
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
大鹿 健一 学習院大学, 理学部, 教授 (70183225)
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| 研究分担者 |
宮地 秀樹 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40385480)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2026-03-31
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| キーワード | Thurston理論 / Teichmuller空間 / 余接バンドル / Lorentz計量 |
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| 研究実績の概要 |
今年度大鹿は2次元のThurston理論をバンドル理論的に展開すること目指す中でいくつかの結果を得ることができた．まずTeichmuller空間のThurstonの非対称Finsler距離について，余接バンドルの凸幾何的構造により計量を記述することを行った．余接空間の単位球はprojective laminationの空間と同一視ができるので，余接バンドルはprojective laminationの空間の凸構造の連続変形の空間とみなすことができる．この手法を用いてlength spectrumとその外微分達のinfinitesimal stretch mapによる記述を与えた．さらに，infinitesimal earthquakeから定まるTeichmuller空間の接空間のノルムによる幾何で，接バンドルがもつ類似の凸構造を調べた．この構造は上のThurston距離から来る余接空間の構造の双対とはなっていないが，pairingの公式を与えることができ，それを通じて測地線の振る舞いを調べた．この測地線の振る舞いはAdS計量をもった曲面上の区間束の凸芯の境界の構造の変化と深いつながりがあることがわかった．
宮地と大鹿はRanders-Teichmuller距離の名前のもとで，Teichmuller距離とThurston距離を連続的につなぎ，その幾何学の変化，特に測地線の変化を解明した．さらに宮地はTeichmuller空間上の有界正則関数のradial limit について研究した.
山田は曲率テンソルのみたす偏微分方程式の解としてのRiemann計量，およびLorentz計量の考察を，調和写像と調和関数を用いて重ねた．特に実2次元多様体上のRiemann計量全体からなるTeichmuller空間の理論と，4次元以上のLorentz計量の構成に関連した一般相対性理論の分野での研究を進めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Thurston理論のバンドル理論化については，2次元ではいくつかの成果をえることができたが，3次元の理論について必要な海外の研究者（特に中国，韓国，米国）との共同研究がコロナ禍により実現できていない．これにより研究に遅れが生じている．
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| 今後の研究の推進方策 |
2022年度は海外出張もできるようになり，また海外からの研究者の招聘も可能になることが見込まれる．これまで遅れてきた3次元の理論を今年度からは海外の研究者との共同研究を通じて進め，全体の理論を発展させたい．また国際研究集会もようやく開かれるようになってきた．研究代表者，分担者みな2022年度以降いくつかの国際研究集会への招待も受けているので，その機会を使って，現在進行中の研究を発表し，さらなる発展につなげていきたい．特にAdS計量へのThurston理論の応用は本課題の計画の重要な部分を占めているので，この部分に力を注ぎたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度はコロナ禍により，予定していた海外での共同研究も海外の研究者の招聘もおこなうことができなかった．これらは特に3次元のThurston理論のバンドル理論化の部分の研究の遅れを引き起こした．次年度以降は海外出張も海外からの招聘も行うことができるようになるので，その時点で経費を使用するのが研究上合理的であると考えた．2022年度以降は海外での共同研究，国際研究集会での発表，海外の研究者の招へいを活発に行う予定である．
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