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2023 年度 実施状況報告書

双曲四面体の複素化の研究

研究課題

研究課題/領域番号 20K20881
研究機関早稲田大学

研究代表者

村上 順  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)

研究期間 (年度) 2020-07-30 – 2025-03-31
キーワード双曲多面体 / 量子不変量 / 量子 6j 記号 / 空間グラフ / 3次元多様体 / 結び目
研究実績の概要

これまでの研究により,色付き Jones 多項式と双曲体積の関係から導かれた「体積予想」を,量子 6j 記号と双曲多面体との関係に適用することで,双曲空間中の四面体の体積公式が得られている.また,この体積公式は,各辺での2面角や辺の長さに関する解析的な関数となっており,3次元球面中の四面体の体積公式にも拡張されている.体積公式での変数は角度,もしくは長さという,実数で表される数なのであるが,本研究では,この体積公式の変数を複素化したものに対応すると考えられる一般化された四面体について,その幾何的な実態がどのようなものかを明らかにすることを目指している.
昨年度テキサス大学ダラス校の Tran 教授との共同研究により,2橋結び目の色付き Jones 多項式を,量子 6j 記号をもちいて構成した.双曲体積は,色付き Jones 多項式のある種の極限であるポテンシャル関数の特異点での値と対応し,このとき,各量子 6j 記号の値の和が双曲堆積となるので,色付き Jones 多項式を構成する量子 6j 記号が,結び目補空間のある部分と対応するはずだということが示唆される.
本年度は,この考察をダブルツイスト結び目に対して行い,補空間が2つの複素化された四面体の和として表されることを明らかにした.また,辺に対応するパラメータ,すなわち角または長さの複素化されたものが,辺に対応する基本群の元の SL(2, C) 表現の固有値と対応することを示し,この対応を用いて,ダブルツイスト結び目に対する体積予想を証明した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

パンデミックによる研究交流の制約のため,他の研究者との研究打ち合わせを十分に行うことができず,研究が遅れていたが,パンデミックの落ち着きと共に研究交流を再開することができ,本年度については順調に研究を進めることができた.

今後の研究の推進方策

複素化された四面体を用いて,一般の双曲極結び目に対して体積予想を証明する.

次年度使用額が生じた理由

パンデミックによる研究交流の制約のため,他の研究者との研究打ち合わせを十分に行うことができず,研究が遅れていたが,ようやく以前のように研究交流が可能となり,これに伴い,研究も進捗している.海外の研究者との研究交流を通じて,さらに研究を進めると共に,研究成果についても積極的に発表する.

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2023 その他

すべて 国際共同研究 (3件) 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] テキサス大学ダラス校(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      テキサス大学ダラス校
  • [国際共同研究] フローニンゲン大学(オランダ)

    • 国名
      オランダ
    • 外国機関名
      フローニンゲン大学
  • [国際共同研究] ニューヨーク大学アブダビ校(アラブ首長国連邦)

    • 国名
      アラブ首長国連邦
    • 外国機関名
      ニューヨーク大学アブダビ校
  • [雑誌論文] Quantized representations of knot groups2023

    • 著者名/発表者名
      Murakami Jun、van der Veen Roland
    • 雑誌名

      Quantum Topology

      巻: 14 ページ: 659~692

    • DOI

      10.4171/QT/191

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotics of quantum $6j$ symbols2023

    • 著者名/発表者名
      Chen Qingtao、Murakami Jun
    • 雑誌名

      Journal of Differential Geometry

      巻: 123 ページ: 1~20

    • DOI

      10.4310/jdg/1679503803

    • 査読あり
  • [学会発表] ボトムタングルから Aq 多項式へ2023

    • 著者名/発表者名
      村上 順
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] ホップ代数によるスケイン加群の一般化2023

    • 著者名/発表者名
      村上 順
    • 学会等名
      拡大 KOOK セミナー 2023
  • [学会発表] Volume conjecture of knots2023

    • 著者名/発表者名
      Jun Murakami
    • 学会等名
      Winter School on Low-dimensional Topology and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] Web Page of Jun Murakami

    • URL

      https://murakami.w.waseda.jp/jun-home-j.html

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公開日: 2024-12-25  

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