| 研究課題/領域番号 |
20K20885
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2022-03-31
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| キーワード | 無限粒子系 / 無限次元常微分方程式 / 無限次元力学系 / 統計力学 / 低粘性極限 / 古典力学 / 干渉ブラウン運動 / 勾配系 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、無限粒子系の確率微分方程式を記述するうえで、重要となるIFC条件に関する論文を完成し投稿し、acceptされた。
IFCとはinfinite system of finite-dimensional stochastic differential equations with consistencyの略である。IFC条件というのは、無限次元確率微分方程式の弱解が与えられた時に、m番目以降の弱解を、最初のm個の粒子を記述する有限次元確率微分方程式のランダムな係数とみなしたとき、m粒子系の方程式が、一意的な強解をもつという主張である。つまり、無限次元方程式を、無限個の有限次元方程式の列に分解するための条件である。
一旦、これが実行できると、無限次元方程式の解析が、有限次元方程式の解析に変換できる。それぞれの有限次元方程式は確率微分方程式であり、本研究が目指す（ブラウン運動の項を持たない）常微分方程式ではないが、この段階で、本研究に必要な、低粘性極限をとることが期待できる。従って、この結果は目標に向かう重要な一歩となっている。
このように本論文は、確率微分方程式に対するものである。その低粘性極限が本当に解決したい問題であり、本年度の結果は研究の第一歩となっている。
注目すべきは、ここで、Dirichlet形式理論を使用していないという点である。低粘性極限では、極限に於いて、時間発展に関して非対称な対象が現れるので、対称Dirchlet形式を本質的に使用する議論を避けなければならない。この論文では、確率微分方程式としての構造だけを使用しており、Dirchlet形式の持つ時間発展についての対称性を使用していない。今後、現段階の解の評価が、粘性によらない形にさらに精密化する必要があるが、この結果は、将来有効になると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
IFC条件という重要な条件を、対称性を用いないで証明したから。
より詳しく説明する。本研究の前段階の研究である、無限次元確率微分方程式（無限次元干渉ブラウン運動）の場合は、「方程式の対称性（同一の粒子に対する方程式という意味で）」に加えて、「時間発展についての対称性」と、「粒子の運動に「ブラウン運動」の部分があり、そういう意味で「古典力学」ではなく、「確率力学」であるという性質」があった。
従って、本研究課題の肝は、「時間発展についての対称性」と「ブラウン運動部分の消滅」という二つの困難さをいかに乗り越えるかである。「方程式の対称性」だけで、どこまで突き進めるかという問題である。 この様に、鍵になるのは、「方程式の対称性」に主に依存し、ブラウン運動部分がなくとも、確率微分方程式ではないにせよ、無限次元を無限個の有限次元に分解するという基本思想をいかに現状況で具体化するという点である。
以上を鑑みて、(2)の区分と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
低粘性極限を取るときの、ドリフト係数の評価を行い、必要な精度に高める。無限次元常微分方程式が、剛性を持ち、また、勾配条件を持つため、一定の初期条件のクラスに対して、実行していけると思われる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
海外の研究会で発表予定であったが、コロナ感染症の流行のため中止したため。次年度は、感染症の流行が収まることを見越し、海外研究者との直接的な交流を図る予定である。
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| 備考 |
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