拡散過程の特異な時間変更に付随する自己共役作用素と熱核に関する研究

2022 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 20K22299
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 松浦 浩平 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90874355)
• 研究期間 (年度): 2020-09-11 – 2024-03-31
• キーワード: 時間変更 / フェラー性 / 一点拡張

研究実績の概要

マルコフ過程のフェラー性について研究を行い、時間変更という操作における安定性を調べた。フェラー性の定義は解析的なもので、マルコフ過程の半群が無限遠点で零になる連続関数の族を不変にすることを意味するが、この定義の確率論的な特徴付けや意味についてこれまでに様々な考察がなされてきた。例えば、非コンパクトな状態空間の上のマルコフ過程に対しては、フェラー性と（Liming Wuの意味での）一様超指数再帰性は両立しないことが知られている。このことから、フェラー性はマルコフ過程の大域的性質の一つであると理解することができ、そのための十分条件について考察していくことは確率過程論における自然な問題の一つである。

マルコフ過程の再帰性と過渡性は時間変更によって保存され、過渡的なマルコフ過程の時間変更は上述した強い再帰性をもたない。このことからマルコフ過程が過渡的な場合は再帰的な場合に比べてフェラー性が安定しやすいと考え、まずは過渡性がある状況の下で研究を行うことにした。その結果、対応する時間変更過程が有限時間で無限遠点に到達する（爆発する）ときにはフェラー性が安定するための十分条件を見出すことができた。これは時間変更を特徴づける正値連続加法汎関数やそれに対応するRevuz測度の言葉で記述されるものである。証明では状態空間をコンパクト化し、爆発後のマルコフ過程の拡張（一点拡張と呼ばれている）を導入することが重要になった。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

フェラー性の時間変更による安定性の問題については結果が出始めており、これは本研究課題の開始時点では想定していなかった進展である。しかし、反射壁ブラウン運動の一意拡張性の研究や、d次元ブラウン運動の時間変更過程に対し、そのレゾルベントのヘルダー連続性から半群のヘルダー連続性を導く研究については十分な時間を確保することができず、大きな進展を得ることができていない。以上のことから、研究課題全体としての進捗はやや遅れていると判断する。

今後の研究の推進方策

フェラー性の時間変更による安定性については一点拡張の概念が有用であり、これについて知見をもつ京都工芸繊維大学の森隆大氏を招聘あるいは訪問して議論を重ねる。同時に反射壁ブラウン運動の一意拡張性についても研究討議を行うことを考えている。ヘルダー連続性の問題については、前年度に引き続き解析半群の理論からのアプローチを図るため、専門家との交流の機会をもつように努める。

次年度使用額が生じた理由

コロナウイルスの影響により、現地参加を予定していた研究集会やセミナーの一部がオンラインで行われることになったため。また、現地訪問による研究打ち合わせを見合わせることになったため。次年度使用額は、国内外の研究集会で研究発表を行い結果の周知を行うための旅費、関連分野の専門家らを招聘あるいは訪問し議論を行うための旅費に充当する。