| 研究課題/領域番号 |
20K22303
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
福田 一貴 信州大学, 学術研究院工学系, 助教 (60882214)
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| 研究期間 (年度) |
2020-09-11 – 2022-03-31
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| キーワード | Burgers型方程式 / 分散-散逸型方程式 / 解の漸近挙動 / 高次漸近形 / 空間異方性 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では, 分散-散逸型方程式の研究として, 幾つかの一般化Burgers型方程式の初期値問題を取り扱い, その解の漸近挙動の解析を行った. 具体的な研究実績は以下の通りである:
はじめに, 高次元の問題に取り掛かるための前段階として, 一次元の問題の結果の拡張に取り組んだ. 代表者はこれまで, KdV-Burgers方程式をはじめとする, 分散項付きBurgers型方程式の解の高次漸近形に関する研究を行ってきた. それらの研究から, 分散効果が解の漸近挙動に影響を与え, 特にその項の減衰率が解の高次漸近形を決定していることが明らかになっていた. 一方, 高次元の問題においては, 次元の影響に伴う解の評価の変化により, 漸近形も大きく異なると予想された. それを踏まえて, 本研究ではまず, 解の減衰率の変化に伴う漸近挙動の変化を調査すべく, 一次元の問題における分散項を非整数階に拡張した問題に取り組み, 分散項の指数を連続的に変化させて解析を行った. 実際, 解の漸近形を第三次漸近形まで導出し, 分散項の指数に応じて, 漸近形への収束率と解の第二次・第三次漸近形が大きく変化することを明らかにした.
次に高次元のBurgers型方程式として, 一般化BBM-Burgers方程式の解の漸近挙動の解析を行った. この方程式は分散・散逸を伴うBurgers型方程式の一種で, KdV-Burgers方程式やその高次元版であるZakharov-Kuznetsov-Burgers方程式の仲間である. この問題については, 分散項と移流項の形に空間異方性を許す場合も含めて, 既に一次元と二次元の場合については解の漸近挙動が導出されていた. 本研究では三次元の場合の解の漸近形を第二次漸近形まで導出することに成功し, 一次元や二次元の場合とは本質的に異なる漸近挙動を確認することに成功した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は上述の通り, 当初の研究計画とは異なり, まずはじめに, 一次元のBurgers型方程式に関する過去の結果の拡張に取り組んだ. 実際, 非整数階の分散項を持つBurgers方程式の解の高次漸近形を明らかにし, 分散指数の変化が解の漸近挙動に与える影響を理解することで, 高次元の場合や類似の構造を持つ方程式に対する解析を進めるのに役立つヒントを得ることができたと言える. なお, 当該結果は板坂健太氏との共同研究として, 現在論文を執筆中であり, 近日中には国際雑誌に投稿する予定である. 更に, 研究実績の後半に記載した, 高次元のBBM-Burgers方程式の解の漸近挙動についても, 今後の研究の進展が期待できる. 具体的には, より一般の次元への結果の拡張や他のノルムに関する評価の導出なども可能であると考えており, さらに似た構造を持つ方程式についての漸近解析も視野に入れている. 従って, こちらの研究については, 次年度の研究でのさらなる考察を加えてから論文を執筆する予定である.
以上のことから, 本研究は大変有意義なものになったと言えるが, 準備段階として取り組んだ一次元の問題が予想以上に進展し, 大幅な時間を割くことになったため, 高次元におけるより一般のBurgers型方程式に関する問題が完全に予定通りに進んでいるわけではないと言える, 実際, 当初の研究計画では, 散逸効果が空間異方的に働く場合のBurgers型方程式の解の漸近解析も視野に入れていたが, その研究は次年度に持ち越すことになった. 従って, 上記の評価が適切であると判断した.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究では当初の研究計画通り, 高次元において, 散逸効果にも空間異方性がある場合のBurgers型方程式の解の漸近解析に取り組む. 実際に扱う例としては, Zakharov-Kuznetsov-Burgersが代表的なものとして挙げられる. この場合には, 散逸効果がある方向に退化し, 高次元における一般の放物型方程式と同様の解の減衰が期待できないため, 本質的に新しい漸近挙動が得られると予想され, より挑戦的な研究になると言える. 研究の具体的な推進方策としては, 初期値に関して方向別の重み付き関数を利用して, その方向別にエネルギー法を適用することを試みる. 場合によっては, 人工的な粘性項を付与し, 粘性項消滅法を利用して解を取らえることなども視野に入れている. また, 以前にもこの問題に関する部分的な共同研究を行ったことのある, 平山浩之氏と再び共同研究を行い, 新しい研究の方向性を探ることなども考えている.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じたのは, 新型コロナウイルス感染症の拡大に伴い, 予定していた研究出張が全て中止になったためである. 次年度の使用計画としては, 感染症の拡大状況を考慮しながら, 可能な範囲で研究出張のための使用を検討しつつ, 場合によっては令和3年度使用額と合わせて, 研究環境整備のための消耗品のための使用を考えている.
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