| 研究課題/領域番号 |
20K22319
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| 研究機関 | 国立研究開発法人理化学研究所 |
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研究代表者 |
谷口 正樹 国立研究開発法人理化学研究所, 数理創造プログラム, 基礎科学特別研究員 (30880520)
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| 研究期間 (年度) |
2020-09-11 – 2023-03-31
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| キーワード | 2次元結び目 / 結び目群 / Yang-Millsゲージ理論 / インスタントンFloer理論 / 特異接続 / トーラス結び目 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の研究目標は, 2次元結び目をYang-Millsゲージ理論を用いて研究することであった. 既に, 論文「Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern-Simons functional」においてYang-Millsゲージ理論を用いて2次元結び目のSeifert超曲面と結び目補空間のSU(2)表現を結びつけるに至っていた. この論文では, 2次元結び目に対してChern-Simons不変量を定義し, これを結び目群に応用するものである. また, その際に, 3次元多様体のChern-Simons不変量を用いた, 定量的なインスタントンFloer homologyを用いる. この論文を国際専門誌「Quantum Topology」に投稿し, 査読の末, 出版された. また, 当初は, 2次元結び目として2次元球面の4次元球面への埋め込みを考えていたが, 同様の考察を2次元トーラスがS^1×S^3にessentialに埋め込まれている場合に拡張できることを考察した. 上記の論文で定義していた, 2次元結び目のChern-Simons汎関数の不変量も, 同様の考察を経て, 2次元トーラス結び目のChern-Simons汎関数の不変量が定義できることを考察した. また, このクラスの2次元トーラス結び目に対して, sliceとして特定の結び目が現れるとき, その補空間の基本群からSU(2)への(traceless)な表現が得られることも考察した. これは, 既に2次元結び目で考察を行なっていた「Seifert超曲面と結び目補空間のSU(2)表現を結びつける」ことの2次元トーラス結び目版の結果と言える.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上記の通り, 本研究課題の２次元結び目とYang-Millsゲージ理論に関する論文「Seifert hypersurfaces of 2-knots and Chern-Simons functional」は, 国際専門誌「Quantum Topology」にアクセプトされた. また, その理論の一つの拡張として, 2次元トーラスがS^1×S^3にessentialに埋め込まれている場合に同様の考察ができることを示した. その際に, 2次元トーラス結び目の(SU(2)表現空間における)Chern-Simons汎関数の不変量を定式化した. この不変量は新しいタイプの2次元トーラス結び目の不変量であり, その2次元トーラス結び目がどのような結び目をそのスライスとして許容するか, という問題と密接に関わる. また, 2次元トーラス結び目の(SU(2)表現空間における)Chern-Simons汎関数とsingular instanton Floer理論を組み合わせることで, 2次元トーラス結び目の補空間のSU(2)表現への応用も得られた. これは, 既に2次元結び目で考察を行なっていた「Seifert超曲面と結び目補空間のSU(2)表現を結びつける」ことの2次元トーラス結び目版であり, 理論の一つの拡張の方向性を与えるもになっている.
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| 今後の研究の推進方策 |
今回得られた"S^1×S^3にessentialに埋め込まれている2次元トーラス結び目のSU(2)-Chern-Simons汎関数"は, 定義することには成功したが, その計算はごく限られたものに対してしか行われていない. さらに, S^1×S^3にessentialに埋め込まれている2次元トーラス結び目の研究は, Casson型の不変量の研究のみある状態で, その具体例の構成方法もほとんど知られていない. 一つの構成として, 3次元球面内の結び目から自分自身へのコンコーダンスを繋げて得られる2次元トーラス結び目を考えることができるが, そのようなものに対してもSU(2)-Chern-Simons汎関数がどのように振る舞うかは考察されていない. 今後の方向性として, 2次元トーラス結び目のより組織的な構成方法の開発, Chern-Simons汎関数の計算手法の開発を念頭に置いている. また, singular instanton Floer理論をより発展させることで, Chern-Simons汎関数とスライスとして現れる結び目の関係をより明らかにしていく予定である.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウイルスの影響により, 研究集会が基本的にオンライン参加となり, 低次元トポロジーやゲージ理論に関する情報収集が思うように進まなかった. これにより, 当初予定していた旅費を使うことができなかった. 今年度は, 既に対面の研究集会への参加をいくつか予定しており, その際, 参加者と近年の低次元トポロジーやゲージ理論に関する情報収集を行う予定である. 特に, 4次元空間内の曲面結び目を研究している研究者と交流する予定である.
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