複雑現象に挑む形態変動解析学の構築

2013 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 21224001
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
• 研究分担者: 山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647) ; 松井 伸也 北海道情報大学, 情報メディア学部, 教授 (50219367) ; 舟木 直久 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (60112174) ; 石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院理学研究院, 教授 (80201565) ; 利根川 吉廣 北海道大学, 大学院理学研究院, 教授 (80296748)
• 研究期間 (年度): 2009-04-01 – 2015-03-31
• キーワード: 関数方程式論 / 結晶成長 / 流体 / 特異拡散方程式 / 弱解

研究実績の概要

本研究では図形やパターンの変動を記述する重要な非線形偏微分方程式に対し、必ずしも微分可能とは限らない解の複雑な変動や性質を解明するとともに、さまざまな数学モデルの関係を明らかにするために、粘性解析、変分解析、漸近解析、変分解析、確率解析を深化させてきました。また、結晶成長分野など関連分野への応用を目指すだけではなく、複雑な現象を図形の変動ととらえ、従来つながりのなかったとされる分野への応用の可能性を探索してまいりました。具体的には次のテーマに取り組みました。
(1) 形態変動解析に適した新たな解概念の定式化：これについては、ファセットをともなう結晶成長のような特異拡散方程式について大きく進展させられました。また平均曲率流方程式のバリフォールド解の概念を一新しました。
(2) 解の挙動の解析：１階微分方程式のハミルトン・ヤコビ方程式について、いろいろな設定の下でその長時間挙動の解析に成功しました。
その他、離散モデルと連続モデルの相互関係の解析、次元の効果の解析、科学技術諸科学分野からの問題探索を行ってまいりました。特に、この研究を始めた当初は予想していなかったデータ分離に熱方程式を用いる方法など、諸科学分野とのかかわりで新たな成果を上げることができました。
本年度は最終年度で、別に詳しい報告書が公表される予定です。なお、この研究を基に、さらに高次元化、高階化を狙った研究課題「特異構造が支配する非線形現象の高度形態変動解析」が採択され、本研究はさらに大きく花開くことになると思います。

現在までの達成度 (段落)

26年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

26年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Singular Neumann problems and large-time behavior of solutions of noncoercive Hamilton-Jacobi equations (2014)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga, Q. Liu and H. Mitake
  • 雑誌名: Trans. Amer. Math. Soc. 巻: 366 ページ: 1905 - 1941
  • DOI: 10.1090/S0002-9947-2013-05905-3
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Comparison Principle for Singular Diffusion Equations with Spatially Inhomogeneous Driving Force for Graphs (2014)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga, Y. Giga and P. Rybka
  • 雑誌名: Archive for Rational Mechanics and Analysis 巻: 211 ページ: 419 - 453
  • DOI: 10.1007/s00205-013-0676-y
  • 査読あり
• [雑誌論文] A second derivative Hoelder estimate for weak mean curvature flow (2014)
  • 著者名/発表者名: Y. Tonegawa
  • 雑誌名: Advances in Calculus of Variations 巻: 7 ページ: 91 - 138
  • DOI: 10.1515/acv-2013-0104
• [雑誌論文] A general regularity theory for weak mean curvature flow (2014)
  • 著者名/発表者名: K. Kasai and Y. Tonegawa
  • 雑誌名: Calc. Var. Partial Differential Equations 巻: 50 ページ: 1 - 68
  • DOI: 10.1007/s00526-013-0626-4
  • 査読あり
• [雑誌論文] Analyticity of the Stokes semigroup in spaces of bounded functions (2013)
  • 著者名/発表者名: K. Abe and Y. Giga
  • 雑誌名: Acta Mathematica 巻: 211 ページ: 1 - 46
  • DOI: 10.1007/s11511-013-0098-6
  • 査読あり
• [雑誌論文] Hamilton-Jacobi equations with discontinuous source terms (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga and N. Hamamuki
  • 雑誌名: Commun. Partial Differential Equations 巻: 38 ページ: 199 - 243
  • DOI: 10.1080/03605302.2012.739671
• [雑誌論文] Evolution of regular bent rectangles by the driven crystalline curvature flow in the plane with a non-uniform forcing term (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga, P. Gorka and P. Rybka
  • 雑誌名: Advances in Differential Equations 巻: 18 ページ: 201 - 242
• [雑誌論文] On representation of boundary integrals involving the mean curvature for mean-convex domains (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga and G. Pisante
  • 雑誌名: Proc. ERC Workshop on ``Geometric Partial Differential Equations", Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi 巻: なし ページ: 171 - 187
• [雑誌論文] On general existence results for one-dimensional singular diffusion equations with spatially inhomogeneous driving force (2013)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga, Y. Giga and A. Nakayasu
  • 雑誌名: Proc. ERC Workshop on ``Geometric Partial Differential Equations", Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi 巻: なし ページ: 145 - 170
  • 査読あり
• [雑誌論文] Ketshoseicho mondai to Kyotokui Kakusan Hoteishiki (2013)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga and Y. Giga
  • 雑誌名: Ijokakusan no Suri, RIMS Kokyuroku 巻: 1854 ページ: 33 - 56
  • 査読あり
• [雑誌論文] Ketshoseicho mondai to Kyotokui Kakusan Hoteishiki (2013)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga, Y. Giga and N. Pozar
  • 雑誌名: Ijokakusan no Suri, RIMS Kokyuroku 巻: 1854 ページ: 57 - 77
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the role of kinetic and interfacial anisotropy in the crystal growth theory (2013)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga and Y. Giga
  • 雑誌名: Interface and Free Boundaries 巻: 15 ページ: 429 - 450
  • DOI: 10.4171/IFB/309
  • 査読あり
• [雑誌論文] On behavior of signs for the heat equation and a diffusion method for data separation (2013)
  • 著者名/発表者名: M.-H. Giga, Y. Giga, T. Ohtsuka and N. Umeda
  • 雑誌名: Comm. Pure Appl. Anal. 巻: 12 ページ: 2277 - 2296
  • DOI: 10.3934/cpaa.2013.12.2277
  • 査読あり
• [雑誌論文] Fluctuations in an evolutional model of two-dimensional Young diagrams (2013)
  • 著者名/発表者名: T. Funaki, M. Sasada, M. Sauer and B. Xie
  • 雑誌名: Stoch. Proc. Appl. 巻: 123 ページ: 1229 - 1275
  • DOI: 10.1016/j.spa.2012.12.005
  • 査読あり
• [雑誌論文] A new PDE approach to the large time asymptotics of solutions of Hamilton-Jacobi equations (2013)
  • 著者名/発表者名: G. Barles, H. Ishii and H. Mitake
  • 雑誌名: Bull. Math. Sci. 巻: 3 ページ: 363 - 388
  • DOI: 10.1007/s13373-013-0036-0
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] A short introduction to viscosity solutions and the large time behavior of solutions of Hamilton-Jacobi equations. Hamilton-Jacobi equations: approximations, numerical analysis and applications (2013)
  • 著者名/発表者名: H. Ishii
  • 雑誌名: Lecture Notes in Math. 巻: 2074 ページ: 111 - 249
  • DOI: 10.1007/978-3-642-36433-4_3
  • 査読あり
• [学会発表] On a Level-set Crystalline Curvature Flow of Surfaces (2014)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: Mathematics at the Interface of Partial Differential Equations, the Calculus of Variations, and Materials Science
  • 発表場所: Institute for Mathematics and its Applications, USA
  • 年月日: 2014-05-23
  • 招待講演
• [学会発表] Boundary integrals involving the mean curvature for mean-convex domain (2014)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: International Workshop on PDEs and Related Topics in Nonlinear Problems
  • 発表場所: Hiroshima University, Japan
  • 年月日: 2014-02-11
  • 招待講演
• [学会発表] Total variation flow of non-divergence type in multi-dimensional spaces and related topics (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: Quasilinear PDEs and game theory
  • 発表場所: Uppsala University, Sweden
  • 年月日: 2013-12-04
  • 招待講演
• [学会発表] On a non-blow up criterion involving vorticity direction under the non-slip boundary condition for the three-dimensional Navier-Stokes flow (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: The Navier-Stokes Equations and Related Topics
  • 発表場所: University of Oxford, UK
  • 年月日: 2013-09-29
  • 招待講演
• [学会発表] Analyticity of the Stokes semigroup in spaces of bounded functions (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: CCMA PDEs and Numerical Methods Seminar Series
  • 発表場所: The Pennsylvania State University, USA
  • 年月日: 2013-05-07
  • 招待講演
• [学会発表] On some macroscopic PDE models for evolving phase boundaries (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: CNA (Center for Nonlinear Analysis) Seminar
  • 発表場所: Carnegie Mellon University, USA
  • 年月日: 2013-04-30
  • 招待講演
• [学会発表] Analyticity of the Stokes semigroup in space of bounded functions (2013)
  • 著者名/発表者名: Y. Giga
  • 学会等名: Analysis Seminar
  • 発表場所: Courant Institute of Mathematical Sciences, USA
  • 年月日: 2013-04-25
  • 招待講演
• [備考] 複雑現象に挑む形態変動解析学の構築
  • URL: http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~labgiga/kiban-j/kiban-j_hp.html