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2012 年度 実績報告書

非可換調和振動子の数理とα行列式の表現論研究

研究課題

研究課題/領域番号 21340011
研究機関九州大学

研究代表者

若山 正人  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40201149)

研究期間 (年度) 2009-04-01 – 2014-03-31
キーワード非可換調和振動子 / ゼータ関数 / 表現論 / α行列式 / 不変式論 / 保型形式
研究概要

非可換調和振動子Qのスペクトルゼータ関数ζ_Q(s) の特殊値から自然に発生する数論的研究を琉球大理の木本一史とともに行った。s=2 での特殊値の場合には、それがきわめて明示的な形で、保型形式・楕円曲線のモジュライに繋がることが、これまでの研究から判明していた。しかしながら、s=4 以上の偶数の場合や、 3以上の奇数点の場合には、その数論的構造は大いに期待されるものの、全く不明であった。(偶数・奇数点によって異なる構造となっていることは分っていた。)今年度の研究で、s=2 の場合程、簡単に記述できる構造ではないものの、特殊値に付随する母関数が満たす微分方程式の解空間には、モジュラー群の合同部分群により統制される線形空間構造が存在している様子が、保型形式論で使われる手法を援用することで、うかがえるようになった。事実、本年度の研究において、新たにEichler積分の拡張であるResidual modular formsを定式化し、同時に周期的Eichler コホモロジー群を定義し、その研究を行い、ζ_a(4)を完全に記述することに成功した。
α行列式から、その加群構造の特異値を観察することで定義されるリース行列式は、一般線形群の相対不変式であることが、これまでの研究で分っている。リース行列式を用いて、有限群とその部分群に対して定まる群行列式の一般化に関し、アーベル群の場合に変数の特殊化(principal specialization)を行い、実験的研究を進めた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

非可換調和振動子のスペクトルに関するゼータ関数の特殊値について、新しい数論的構造の発見をみた。さらに、その記述のために、residual modular forms とそれに付随する新しいコホモロジーを定式化した。

今後の研究の推進方策

【現在までの達成度】で述べた数論的研究を推し進めるために、琉球大学理学部の木本一史との共同研究も進める。また、α-行列式の表現論、特殊関数論的研究を推進し、さらに統計学へのフィードバックをはかる。

  • 研究成果

    (14件)

すべて 2013 2012 その他

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (7件) (うち招待講演 1件) 備考 (2件)

  • [雑誌論文] Milnor-Selberg zeta functions and zeta regularizations2013

    • 著者名/発表者名
      Nobushige Kurokawa, Masato Wakayama & Yoshinori Yamasaki
    • 雑誌名

      Journal of Geometry and Physics

      巻: Volume 64 ページ: 120-145

    • DOI

      10.1016/j.geomphys.2012.10.015

  • [雑誌論文] Non-linear algebraic differential equations satisfied by Certain family of elliptic functions2013

    • 著者名/発表者名
      M. Wakayama & K. Yamamoto
    • 雑誌名

      The Ramanujan Journal

      巻: 30(2) ページ: 173-186

    • DOI

      10.1007/S11139-012-9425-3

  • [雑誌論文] Spectrum of non-commutative harmonics oscillators and residual modular forms2013

    • 著者名/発表者名
      K. Kimoto & M. Wakayama
    • 雑誌名

      Proceedings of the RIMS Thematic Year 2010 on Perspectives in Deformation Quantization and Noncommuntative Geometry

      巻: Volume 1 ページ: 23-267

  • [雑誌論文] Invariant differential operators on the Heisenberg group and Meixner-Pollaczek polynomials(to appear)2013

    • 著者名/発表者名
      Jacques Faraut & Masato Wakayama
    • 雑誌名

      Advances in Pure and Applied Mathematics

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Multivariate Meixner-Pollaczek polynomials and an application2013

    • 著者名/発表者名
      若山正人
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録1825 非現論と非可換調和解析の展望

      巻: 1825 ページ: 197-204

  • [学会発表] Analysis and arithmetic of non-commutative harmonic oscillators2013

    • 著者名/発表者名
      若山正人
    • 学会等名
      BCAM Seminar
    • 発表場所
      Basque Center of Applied Mathematics, Spain
    • 年月日
      2013-03-01
  • [学会発表] Introduction to Mathematics for Industry2013

    • 著者名/発表者名
      若山正人
    • 学会等名
      Seminar in Grenoble
    • 発表場所
      Univ. Joseph Fourier, France
    • 年月日
      2013-03-01
  • [学会発表] Eichler cohomology groups for spectrum of NcHO's2012

    • 著者名/発表者名
      Masato Wakayama
    • 学会等名
      Spectral analysis of non-commutative harmonic oscillators and quantum devices
    • 発表場所
      Kyushu University
    • 年月日
      20121126-20121127
    • 招待講演
  • [学会発表] Remarks on parity of eigenfunctions of NcHO via Heun DE2012

    • 著者名/発表者名
      若山正人
    • 学会等名
      Zetas and Limit Laws in OKINAWA 2012
    • 発表場所
      Festone, Ginowan, OKINAWA
    • 年月日
      20121118-20
  • [学会発表] Oscillator representations and Meixner-Pollaczek polynomials2012

    • 著者名/発表者名
      Masato Wakayama
    • 学会等名
      表現論から見える数学の諸相
    • 発表場所
      サンパレス球陽館(OKINAWA)
    • 年月日
      20121012-20121013
  • [学会発表] 表現論と非可換調和解析の展望2012

    • 著者名/発表者名
      Masato Wakayama
    • 学会等名
      Multivariate Meixner-Pollaczek polynomials and an application(招待)
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所
    • 年月日
      20120619-20120622
  • [学会発表] Multivariate Meixner-Pollaczek Polynomials2012

    • 著者名/発表者名
      若山正人
    • 学会等名
      Sala de Seminarios
    • 発表場所
      Centro de Modelamiento Matematico, Chile
    • 年月日
      2012-06-06
  • [備考] 若山正人ホームページ

    • URL

      http://imi.kyushu-u.ac.jp/~wakayama/

  • [備考] 九州大学研究者情報(若山正人)

    • URL

      http://hyoka.ofc.kyushu-u.ac.jp/search/details/K000521/

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公開日: 2014-07-24  

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