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2012 年度 実績報告書

グラフィクスとカンドル理論の観点からの4次元トポロジーの研究

研究課題

研究課題/領域番号 21340015
研究機関広島大学

研究代表者

鎌田 聖一  広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60254380)

研究分担者 作間 誠  広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30178602)
島田 伊知朗  広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10235616)
研究期間 (年度) 2009-04-01 – 2014-03-31
キーワードグラフィクス / チャート / カンドル / 結び目 / 曲面結び目 / レフシェツ・ファイバー束 / 4次元トポロジー
研究概要

高い種数のレフシェツ・ファイバー束の研究にグラフィクス(チャート表示法)を用いる研究を行った。一般のレフシェツ・ファイバー束では取扱が複雑なため、超楕円的レフシェツ・ファイバー束に関してそのモノドロミーを表すチャート表示法を与えることに成功した。定義に用いる頂点の条件が簡単で利用しやすいことが特徴である。基本となる超楕円的レフシェツ・ファイバー束をリストアップし、ファイバー和に関する安定化の研究を行った。関連する研究者と論文の形にまとめた。もう少し検討を重ねた上で次年度(最終年度)に学術雑誌へ投稿予定である。
2次元ブレイドのチャート表示に関しては、2重点を許容する特異2次元ブレイドについて非単純な場合のチャート表示に関する研究を行った。特に「正則」な特異2次元ブレイドに対して、それを表すための特別なチャート表示(正則表示と呼ぶ)を与えて変形理論を構成した。同値な正則特異2次元ブレイドを表す2つの正則チャートはある基本変形の列で移り合うことを示した。この結果について平成24年1月に群馬大学で開催された研究集会で口頭発表を行った。
3次元多様体が3次元球面の絡み目に沿った分岐被覆で表示できる。その際に、絡み目の補空間の基本群から対称群への表現であるモノドロミーが使われる。これをブレイド群へ持ち上げることで3次元多様体の5次元球面への埋め込みやはめ込みを構成する手法を開発し、平成24年12月にジョージワシントン大学で開催された国際研究集会で発表した。
平成24年5月に京都大学数理解析研究所で低次元トポロジーに関する研究集会「Intelligence of Low Dimensional Topology」を組織委員として、平成24年11月に広島大学で研究集会「4次元トポロジー」を組織委員・世話人として開催し、4次元トポロジーの意見交換を行った。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

種数2のレフシェツ・ファイバー束のチャート表示の研究成果を応用して、超楕円的レフシェツ・ファイバー束のチャート表示を構成できたことは順調である。研究目的であるチャートを用いた4次元トポロジーの主要部分の1つである。

今後の研究の推進方策

正則な特異2次元ブレイドを表す正則チャートに関して、その幾何的な意味付けを行う必要がある。3次元空間への射影図の特異点集合とチャートが対応することが期待されるので、その方面からの意味付けが期待される。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2013 2012

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (7件) (うち招待講演 6件)

  • [雑誌論文] Chart description for genus-two Lefschetz fibrations and a theorem on their stabilization2012

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 雑誌名

      Topology Appl.

      巻: 159 (2012), no. 4 ページ: 1041-1051

    • DOI

      10.1016/j.topol.2011.11.031

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Biquandles with structures related to virtual links and twisted links2012

    • 著者名/発表者名
      Naoko Kamada and Seiichi Kamada
    • 雑誌名

      J. Knot Theory Ramifications

      巻: 21 (2012), no. 13 ページ: 14

    • DOI

      10.1142/S0218216512400068

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Theory of 2-dimensional braids and knots in dimension four2012

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 雑誌名

      Sugaku Expositions

      巻: 25 (2012), no. 1 ページ: 1-18

    • 査読あり
  • [雑誌論文] quandleと結び目不変量2012

    • 著者名/発表者名
      鎌田聖一
    • 雑誌名

      数学

      巻: 64 ページ: 304-324

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Braids and branched coverings of dimension three2012

    • 著者名/発表者名
      J. Scott Cater
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録

      巻: 1812 ページ: 64-81

  • [学会発表] Low dimensional braids and chart descriptions2013

    • 著者名/発表者名
      S. Kamada
    • 学会等名
      研究集会「TAPU Winter Seminar」
    • 発表場所
      慶北国立大学, テグ, 韓国
    • 年月日
      20130204-20130204
    • 招待講演
  • [学会発表] 非単純2次元ブレイドのチャート表示について2013

    • 著者名/発表者名
      鎌田聖一
    • 学会等名
      研究集会「Hurwitz action とその周辺」
    • 発表場所
      群馬大学
    • 年月日
      20130105-20130105
    • 招待講演
  • [学会発表] Three dimensional braids and their braid monodromies2013

    • 著者名/発表者名
      Seiichi Kamada
    • 学会等名
      国際研究集会「The Ninth East Asian School of Knots and Related Topics」
    • 発表場所
      東京大学
    • 年月日
      2013-01-16
  • [学会発表] Branched coverings and braided manifolds of low dimensions2012

    • 著者名/発表者名
      S. Kamada
    • 学会等名
      国際研究集会「Knots in Washington XXXV」
    • 発表場所
      ジョージワシントン大学, ワシントンDC, 米国
    • 年月日
      20121209-20121209
    • 招待講演
  • [学会発表] Presentations of racks, quandles and symmetric quandles2012

    • 著者名/発表者名
      S. Kamada
    • 学会等名
      研究集会「TAPU Summer School on Quandle Theory」
    • 発表場所
      釜山国立大学, 釜山, 韓国
    • 年月日
      20120724-20120724
    • 招待講演
  • [学会発表] Graphical description of branched coverings and 2-dimensional braids2012

    • 著者名/発表者名
      S. Kamada
    • 学会等名
      The 6th European Congress of Mathematics
    • 発表場所
      Jagiellonian 大学, Krakow, Poland
    • 年月日
      20120706-20120706
    • 招待講演
  • [学会発表] Braids and branched coverings of dimension three2012

    • 著者名/発表者名
      S. Kamada
    • 学会等名
      研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology 」
    • 発表場所
      京都大学
    • 年月日
      20120518-20120518
    • 招待講演

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公開日: 2014-07-24  

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