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2010 年度 実績報告書

ワイエルストラス表現公式の一般化と特異点をもつ曲面の理論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 21340016
研究機関東京工業大学

研究代表者

山田 光太郎  東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (10221657)

キーワードwave fronts / coherent tangent bundles / front bundles / Gauss-Bonnet formula / duality / conformally flat / comnplet
研究概要

3次元空間型の波面(フロンタル・フロント)の内的定式化として連接接束・フロンタル束・フロント束の概念を導入し,この立場で波面とその単位法線ベクトル場の関係に対応するフロント束の双対性とその応用を研究した.とくにコンパクトな波面の場合,2つのタイプのガウス・ボンネ公式が成立する(佐治・梅原・研究代表者)が,さらに双対なフロント束にたいしても2つ,合計4つ独立なのガウス・ボンネの公式が成立することになる,これらを組み合わせることにより,さまざまな曲面や波面の位相に関する公式-たとえばBleeker-Wilsonの公式-を得ることができた.一方,連接接束の条件をさらに弱くしても2つのガウス・ボンネの公式が成立することに気づき,その応用として,3次元アファイン空間の曲面に対する等積Blasehke法線の特異点に関するBleeker-Wilson型公式を得た.
また(一般に3次元以上の)共形平坦リーマン多様体をミンコフスキー空間の光円錐の超曲面とみなし,その波面としての双対を考えることにより,もとの共形平坦リーマン計量と異なる共形平坦リーマン計量(双対共形平坦計量)が存在することを示した.この計量は一般に特異点をもつが,フロント束の概念を用いて内的に定式化することができる.
非コンパクトな波面の大域的な幾何学を研究するには,リーマン多様体の完備性の概念を特異点を持つ場合に拡張する必要がある.研究代表者たちが「完備」と呼んでいる性質は(退化をゆるす)リーマン計量に関して常に定義されるが,一方,さまざまなクラスの曲面に対して別の意味の完備性(弱完備性とよんでいる)を導入してきた.これらの関係を考察した.

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2011 2010 その他

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (2件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] The duality of conformally flat manifolds2011

    • 著者名/発表者名
      H.L.Liu, M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Bulletin of the Brasilian Mathematical Society

      巻: 42 ページ: 131-152

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Singularities of Blaschke normal maps of convex surfaces2010

    • 著者名/発表者名
      K.Saji, M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Comptes Reudus de l'Academie Sciences. Serie I.

      巻: 348 ページ: 41-82

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The duality between singular points and inflection points on wave fronts2010

    • 著者名/発表者名
      K.Saji, M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Osaka Journal of Mathematics

      巻: 47 ページ: 591-607

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Applications of completeness lemma in minimal surface theory to various classes of surfaces2010

    • 著者名/発表者名
      M.Umehara, K.Yamada
    • 雑誌名

      Bulletin of the London Mathematical Society

      巻: 43 ページ: 191-199

    • 査読あり
  • [学会発表] Generalized conformally flat manifolds and their duality2010

    • 著者名/発表者名
      山田光太郎
    • 学会等名
      Geometry and Something
    • 発表場所
      福岡大学セミナーハウス
    • 年月日
      2010-10-10
  • [学会発表] Duality of wave fronts and applications2010

    • 著者名/発表者名
      K.Yamada
    • 学会等名
      Progress in Surface Theory
    • 発表場所
      Math. Forschungsinstitut Oberwolfach
    • 年月日
      2010-05-08
  • [備考]

    • URL

      http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/research-jp.html

URL: 

公開日: 2012-07-19  

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