逆問題の数学と実用解法

2012 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 21340021
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 山本 昌宏 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (50182647)
• 研究分担者: 大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554) ; 久保 司郎 大阪大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (20107139) ; 田沼 一実 群馬大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60217156) ; 磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065) ; 芦野 隆一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (80249490) ; TRUSHIN Igor 東北大学, 学内共同利用施設等, 准教授 (80600337) ; 大江 貴司 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90258210) ; 渡邊 道之 新潟大学, 人文社会・教育科学系, 准教授 (90374181)
• 研究期間 (年度): 2009-04-01 – 2013-03-31
• キーワード: 逆問題 / 数値解析 / 実用解法 / 正則化 / 安定化

研究概要

逆問題の数学を確立すると共に実用解法の研究が異分野ならびに産業界で強く要求されている状況から本研究を遂行した。研究代表者、分担者は逆問題の数学解析と数値解析の専門家であり、本研究においては逆問題の数学解析を深めて、数値解析手法のあらたな創出を目指した。特に結晶成長モデルにおける逆問題の数学解析と数値計算手法の開発などを含む成果をあげ、それらを活用して産業界などに現れる応用逆問題の実用解法の創出にもあたった。主な実績は以下の通りである．ａ．偏微分方程式で記述される状態量を表面またはその近傍における限定された観測データから決定する係数逆問題の安定性・一意性などの数学解析の研究につき、伝熱現象を支配する物理法則を記述する非線形項を決定する逆問題の数値手法を実用レベルで完成させた。境界観測の反復によって空間変数に依存する係数を勝手な部分境界でのデータによって決定する境界値逆問題における一意性を一般に楕円型方程式など多様なシステムに関して確立した。ｂ．逆散乱問題に関連して偏微分方程式が成り立っている領域形状の決定問題における安定性を明らかにする方法論を確立し論文を完成させた。ｃ．偏微分方程式の非斉次項（すなわち、ソース項）を決定する逆問題の数値解析、特に不均質媒質の場合の数値解法を確立した。ｄ．画像復元についても計画の遂行にむけて研究を継続した。　最重要課題は実用に耐える数値手法の開発であるので、課題となっている逆問題の数値解法について比較、有効性の検証などを実施し、最終年度のまとめとした。前年度に引き続き、国内外からの専門家の招聘と専門的知識の提供を求めた。さらに外国出張や専門的知識の提供を求めた。

現在までの達成度 (区分)

理由

24年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

24年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Partial Cauchy data for general second order elliptic operators in two dimensions (2012)
  • 著者名/発表者名: O. Imanuvilov
  • 雑誌名: Publ. RIMS 巻: 48 ページ: 971, 1055
  • 査読あり
• [雑誌論文] Determination of an electromagnetic potential for the Dirac equation (2012)
  • 著者名/発表者名: A. Kawamoto
  • 雑誌名: Inverse Problems 巻: 28 ページ: 115012, 26 pp
  • 査読あり
• [雑誌論文] Identification of two coefficients with data of one component for a nonlinear parabolic system (2012)
  • 著者名/発表者名: M. Cristofol
  • 雑誌名: Applicable Analysis 巻: 91 ページ: 2073-2081
  • 査読あり
• [雑誌論文] Inverse boundary value problem for Schr\"odinger equation in two dimensions (2012)
  • 著者名/発表者名: O. Imanuvilov
  • 雑誌名: SIAM Math. Anal. 巻: 44 ページ: 1333-1339
  • 査読あり
• [学会発表] Uniqueness results by partial Cauchy data for 2-dimensional elliptic systems
  • 著者名/発表者名: M. Yamamoto
  • 学会等名: Inverse and Ill-posed Problems in Math. Physics
  • 発表場所: Novosibirsk, Russia
  • 招待講演
• [学会発表] 逆問題が開く数学と産業の連携
  • 著者名/発表者名: 山本昌宏
  • 学会等名: サイバネットシステムシンポジウム
  • 発表場所: 東京
  • 招待講演