最適化問題の記号代数解法のための実代数幾何の代数計算理論の展開

2009 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 21340025
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 穴井 宏和 九州大学, 産業技術数理研究センター, 教授 (20417520)
• 研究分担者: 横山 和弘 立教大学, 理学部, 教授 (30333454)
• キーワード: 記号・代数計算 / パラメトリック最適化 / 記号的最適化手法 / 実代数幾何 / 限量子消去 / グレブナ基底

研究概要

ものづくりにおける設計をはじめとして、実世界の広範な問題は「最適化問題」として捉えることができるため最適化問題を解く方法論の革新的発展が世の中にもたらすインパクトは非常に大きいと言えます。本研究を通じて、「記号・代数計算に基づく最適化手法」に着目します。これにより従来の数値的最適化手法では困難であった非凸問題の大域的最適解を正確に導くことやパラメトリックに問題を解くパラメトリック最適化が可能となります。本研究では、記号・代数計算に基づく最適化手法の限量子消去(QE)やグレブナ基底の計算法に基づいた新しい効率的な最適化手法の開発を試みます。本年は、1.数値・数式ハイブリッド計算技術による効率的なQEアルゴリズムの開発と2.実問題の構造を活用した効率的な最適化アルゴリズムの開発を中心に研究を進めました。
1. では、QE計算において隘路となる代数拡大体計算にDynamic evaluationを適用した方式に精度保証付き数値計算を融合した手法を提案しその実装を行い国際会議SNC2009で発表しました。
2. では、制御理論におけるいくつかの重要な問題に対して代数的手法を導入した新しい方法論を提案し国際会議、国際雑誌で発表しました。具体的には、リカッチ方程式の代数的解法(国際会議ISSAC2009)、数値数式ハイブリッド最適化によるH2制御での制御器設計法(国際会議MSC2009)、多項式スペクトル分解の代数的手法(Journal of Symbolic Computation)など。
また、世界的なQEの研究者や代数計算の研究者を招へいし、代数的最適化手法の効率化に向けた詳細な議論を集中的に行いました。これにより、数値・数式ハイブリッド計算や多目的最適化問題への適用について今後の方向性を策定しました。

研究成果

• [雑誌論文] (2010)
  • 著者名/発表者名: 木村欣司、穴井宏和
  • 雑誌名: 「数学セミナー」2010年2月号(日本評論社) ページ: 44-47
• [雑誌論文] (2010)
  • 著者名/発表者名: 木村欣司、穴井宏和
  • 雑誌名: 「数学セミナー」2010年3月号(日本評論社) ページ: 52-57
• [雑誌論文] Parametric polynomial spectral factorization using the sum of roots and its application to a control design problem (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Anai, et al.
  • 雑誌名: Journal of Symbolic Computation 44・7 ページ: 703-725
  • 査読あり
• [雑誌論文] Algebraic Approach to Discrete-time Polynomial Spectral Factorization (2009)
  • 著者名/発表者名: M.Kanno, et al.
  • 雑誌名: Journal of Math-for-Industry 1・A ページ: 57-68
  • 査読あり
• [雑誌論文] Quintic Polynomials of Hashimoto-Tsunogai, Brumer and Kummer (2009)
  • 著者名/発表者名: M.Kida, et al.
  • 雑誌名: International Journal of Number Theory 5・4 ページ: 555-571
  • 査読あり
• [雑誌論文] Computation schemes for splitting fields of polynomials (2009)
  • 著者名/発表者名: S.Orange, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2009 ページ: 279-286
  • 査読あり
• [雑誌論文] Solution of algebraic Riccati equations using the sum of roots (2009)
  • 著者名/発表者名: M.Kanno, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2009 ページ: 215-222
  • 査読あり
• [雑誌論文] An Effective Implementation of a Symbolic-Numeric Cylindrical Algebraic Decomposition for Quantifier Elimination (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Iwane, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the 3rd International Workshop on Symbolic-Numeric Computation 2009 ページ: 56-64
  • 査読あり
• [雑誌論文] Plant/Controller Design Integration for H2 Control by Symbolic-Numeric Hybrid Optimization Based on Sum of Roots Characterization (2009)
  • 著者名/発表者名: M.Kanno, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control 2009 ページ: 1619-1624
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Symbolic-Numeric Approach to Multi-Parametric Programming for Control Design (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Anai
  • 雑誌名: Proceedings of the ICROS-SICE International Joint Conference 2009 ページ: 2535-3520
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Maple toolbox for parametric robust control system design using symbolic computation (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Noriko, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the ICROS-SICE International Joint Conference 2009 ページ: 3520-3524
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Symbolic-Numeric Approach to Some Classes of Parametric Optimization Problems for Manufacturing Design (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Iwane, et al.
  • 雑誌名: Proceedings of the 9th Asian Symposium on Computer Mathematics 2009 ページ: 63-66
  • 査読あり
• [雑誌論文] A Symbolic Approach to Nonlinear Gain Analysis of a Class of Nonlinear Dynamical Systems (2009)
  • 著者名/発表者名: H.Ichihara, H.Anai
  • 雑誌名: Proceedings of the 3rd International Conference on Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences 2009 ページ: 374-377
  • 査読あり
• [学会発表] Computation of the splitting field of a polynomial using its Galois group (2009)
  • 著者名/発表者名: K.Yokoyama
  • 学会等名: International Conference on Mathematics Mechanization
  • 発表場所: Academy of Mathematics and Systems Science, 北京
  • 年月日: 2009-05-12