| 研究概要 |
本年度の成果のうち、研究実施計画における第一の目標については、そのうちの一つである、係数に誤差のある場合の連立代数方程式の扱いに関して以下の成果を得た。1.f_1、…、f_nをn変数実係数多項式とする。連立代数方程式f_1=…=f_n=0において単純な孤立実数解が存在する場合に、f_1、…、f_nの係数をどれ程動かすと単純な孤立実数解が存在しなくなるか、その変動の限界を、Kantorovichの定理を利用して評価する手法を昨年度提案したが、その手法を改良した。2.n変数複素係数多項式f_1、…、f_nが与えられているとする。このとき、連立代数方程式f_1=…=f_n=0について、f_1、…、f_nの係数をどれ程動かすと、どの変数の値もゼロではない解の個数が変化するか、その変動の限界を、BKK(Bernshtein、Kuskmirenko、Khovanskii)限界の等式が成り立つ条件を用いて計算する方法を提案した。
研究実施計画における第二の目標、すなわち、係数に誤差がある場合のグレブナ基底については以下の成果を得た。上記2の成果を得る過程で、グレブナ基底が{1}であるn変数複素係数多項式f_1、…、f_nに対し、適当なノルムで測ったとき(f_1,…,f_n)に一番近いn変数複素係数多項式の組(g_1,…,g_n)であって、そのグレブナ基底が{1}ではないものを求める問題の解が利用できることを示した。これは、一種の近似グレブナ基底を求める問題と見ることができる。
このほか、関連する以下の成果も得た。一変数実係数多項式fと複素領域D(fはDに零点を持たない)に対し、無限大ノルムで測ってfに一番近くDに零点を持つ一変数実係数多項式gを求める問題につき、gは多項式時間で計算可能、という以前の結果を詳細化し、計算時間のオーダーを具体的に評価した。
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