| 研究概要 |
有理数体上のAbe1体K上のpの外不分岐なp拡大のイデアル類群を考察する場合、ある種のp単数群やEisensteinイデアルが関わっている。これらの特殊元を用いて一般Greenberg予想を調査し、様々な拡大方向での擬有限性やイデアルの単項化などの具体的な現象を把握することが本研究の主要な目標である。
本年は、McCallum氏やSharifi氏によって研究されてきた1次元コホモロジー群同士のカップ積について調査を進めた。特に問題にしたのは、実部分のイデアル類群のp部分が自明でなく、p次拡大体のKummer生成元が円単数から得られない場合である。なお、この種の円分体はp分体の場合には知られていないが、同様な条件を満たすAbe1体は円単数およびGauss和を用いたアルゴリズムによって計算機を用いて具体的に与えており、本年もこの数値計算を引き続き推進した。さらに、我々が扱う事例の場合のGalois群の生成元の関係式の複雑性を検討し、この場合の写像を具体的に計算するための下準備を整えている。また、代数体KのAbe1拡大体のイデアル類群のGalois加群としての構造はKの正規底問題と密接に関わっており、市村氏との共同研究において虚二次体Kでそのtameなp拡大が全て正規底をもつ(K, p)の組を全て決定した。
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