| 研究概要 |
(u,λ)-型半正則相対差集合の群の条件を緩和したものが一般アダマール行列であり,一般アダマール行列にはしばしばよい半正則相対差集合が対応する.この一般アダマール行列を群Gの群環の視点からその一般化ととて群Gのs-部分集合を群環Z[G]の元とみてそこに成分にもつt次の変形一般アダマール行列GH(s,u,λ)を定義した.これを用いて対称,非対称を含めて様々なtransversal designを得ることができることを示した.定理.群G上のt次変形GH(s,u,λ)行列(t=uλ/s)からGが点及びblock集合上半正則に作用し,点軌道はすべて点クラスの和集合となるようなtransversal design TDλ(uλ,u)を得る.逆にこのような自己同型から変形GH(s,u,λ)行列が得られる
さらにこの結果を用いて有限幾何におけるspreadを利用することによりtransversal design TDλ(uλ,u)を得ることを示し,対応するtransversal designが既知のclass regularな自己同型群を持つ対称なtransversal designとは性質が異なることを示した.すなわち,それは対称なtransversal designであるにもかかわらずclass regularな自己同型群を持たないtransversal designの無限系列であることを証明した.このような無限系列の例はこれまで知られていなかった
定理.位数qの任意のspreadから得られる変形GH(q,q,q)行列は特別な場合を除けば全てclass regularでない対称なtransversal designを与える
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