| 研究概要 |
今年度の実施計画に基づき、A^1-patchについての研究を継続し、成果をまとてJ.Pure & Appl.Algebraに投稿したところ、掲載決定された。次いで、研究目的に関連して、ネーター正規環R上の1変数多項式環R[X]の部分環Aの有限生成性についての研究を行った。Rが1次元の場合については、以前の研究成果があるので、Rが2次元の場合を中心に考察した。まず、一般次元で成り立つ結果として、次を得た。
定理Rは優秀正規環(excellent normal domain)とし、AはRを含む正規環とする。また、fはAの非零元で、以下の3条件を満たすとする。
(1)A[1/f]はR上有限生成である。(2)A/fAはR上有限生成である。(3)fの任意の極小素イデアルPに対し、ht(P)=1であり、PはRに関して次元公式を満たす。
このとき、AはR上有限生成である。
Rが体の場合、上の結果はすでに証明済みであるが、これはその一般化であり、有限生成性を考察する上で極めて重要な定理を得ることができた。さらに、この定理を応用して、次の定理が示せた。
定理Rは剰余体が代数的閉体であるような2次元完備局所環とし、u,vはRの正則パラメーターとする。また、AはRを含み、R上の超越次元が1であるようなネーター正規環とし、さらにA[1/u]はR上有限生成とする。このとき、uAの任意の極小素イデアルPに対し、P∩R=uRが成り立ち、A/PがR/uR上超越的ならば、AはR上有限生成である。
この定理の最後の仮定が成り立たない場合、即ち、A/PがR/uR上代数的となるような極小素イデアルPが存在する場合、この定理は一般的には成立しない。そのような例を構成する一般的方法についても考察し、それを用いて具体例を複素数体C上の2変数形式的冪級数環C[[u,v]]上で構成できた。これらの成果は、論文として発表する予定である。
|
