| 研究概要 |
kを可換環,Gを群,Iを圏とする。また,k-Catでk小圏全体の2圏とする。
(1)G作用をもつk小圏全体のある2圏G-Catと,G次数付きk小圏全体のある2圏G-GrCatが2同値であることを以前に示したが,G-GrCatでの同値性は見慣れないものであったので,これをよく知られた性質との類似で特徴付けた。
(2)反転ラックス関手X:I→k-Catの加群圏およびその導来圏の定義は,これまで別々に与えてきたがこれらを統一的に取り扱う簡単な方法を見つけた。すなわち,まず一般に擬関手との合成が,反転ラックス関手の全体の2圏から反転ラックス関手全体の2圏への擬関手になるという定理を証明した。これを応用すると,k-Catからkアーベル小圏全体の2圏k-Abへの擬関手Modと,加群圏の形のk-小圏全体のなす2圏k-ModCatからk-三角小圏全体のなす2圏k-Triへの擬関手Dをうまく定義すると反転ラックス関手Xとの合成Mod・X:I→k-Abおよび,D・Mod・X:I→k-Triがまた反転ラックス関手となることが分かる。これらがちょうどXの加群圏および導来圏となる。この定理は,導来同値のための被覆理論の圏作用への一般化の主定理(反転ラックス関手XとX'が導来同値ならばそれらのグロタンディーク構成Gr(X)とGr(X')も導来同値になるという定理)の証明にも使うことができた。この主定理を応用して,互いに導来同値なk多元環の対の族を貼り合わせて,導来同値な大きなk多元環の対を構成することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
道具となる一般論は順調に進んでいるが,B/<ν^ng>(ただし,Bは樹木型の箙多元環に導来同値な多元環Aの反復圏で,nは自然数,νはBの中山自己同型,gはすべての整数iに対してg(A^<[i]>)=A^<[i]>をみたすBの自己同型)という形の多元環のクラスを導来同値分類する研究はなかなか進んでいない。
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