| 研究概要 |
研究実施期間2年目の平成22年度は,「S-比較可能性を持つ正則環」や,その一般化概念である「一般S-比較可能性を持つ正則環」に焦点を絞り,「有限性問題(主に(DF)性問題)・行列環問題・環の構成法」の解明に取り組み,次の結果を得た。最初に,一般S-比較可能性を持つユニット正則環はSpecial (DF)性,即ちダイレクト・ファイナイト射影加群の同型な有限直和は再びダイレクト・ファイナイトであること,を証明した。次に,上記条件からユニット性を除いた,一般S-比較可能性を持つ正則環を考察し,この環に対しては,ダイレクト・ファイナイト有限生成射影加群の有限直和は再びダイレクト・ファイナイトであること,更に,その環上の射影加群について,全ての部分加群がダイレクト・ファイナイトであるという性質を持つことは上記射影加群の有限個の同型な直和も再び同じ性質を満たすことと同値であることを証明した。これらの結果を「行列環問題」に適用し,一般S-比較可能性を持つ正則環の全ての右イデアルがダイレクト・ファイナイトならば,その行列環も同じ性質をもつことを証明すると共に,無限個の同型な右イデアルの直和を含まないという性質は行列環にも移行することも証明し,最初に与えた環とその行列環との間の有限性問題に対する結果を与えることができた。これは,筆者が提起した「有限性問題・行列環問題」に対する興味ある成果であることを意味している。年度後半には,Special (DF)性や(DF)性を満たす一般S-比較可能性を持つ正則環の構成方法に取り組み,直積環やその剰余環への研究を進め,直積環の直和による剰余環はその直積と直和の添数集合の濃度により(DF)性やSpecial (DF)性を満たすことを証明し,一般S-比較可能性を持つ新しい正則環の一つの構成方法を与えることができた。
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