| 研究概要 |
1.定曲率空間内の統計部分多様体論の構築.ヘッセ断面曲率が消えるヘッセ多様体の標準的なモデルをここでは仮に平坦空間とよぶ.また,ヘッセ多様体間の写像が統計はめ込みであるとは,ヘッセ多様体を自然に統計多様体とみなすとき,その統計構造を保存するものをさす.平坦空間から平坦空間への余次元1の統計はめ込みについて,統計的第2基本形式が消えるものを決定した.これらは平坦空間内のもっとも基本的な統計部分多様体である.さらに,2次元平坦空間から3次元平坦空間への柱状統計はめ込みについて,生成曲線のみたすべき常微分方程式を導出し,その具体例を構成した.一方,ヘッセ断面曲率が正で一定のヘッセ多様体についてはつぎの成果を得た,正規分布全体のなす空間から構成される統計多様体が標準的な2次曲面として実現できる不定値計量をもちヘッセ断面曲率が消えるヘッセ多様体を構成した.これは,リーマン幾何学において,負の定曲率空間をローレンツ空間内の2次超曲面として実現したことに対応している.
2.複素統計多様体およびその中の部分多様体論の展開.昆(研究分担者)は,リーマン部分多様体論として,つぎの成果を得た.複素空間形のCR部分多様体の重要なクラスとして,実超曲面がある.複素空間形の実超曲面に対して,捩率テンソルが一般化された田中・ウェブスター接続について平行であるものを分類した.さらに,3次元複素空間形において,構造ベクトル場がリッチ・テンソルの固有ベクトル場になっているコンパクト実超曲面はホップ超曲面であることを示した.
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