リーマン多様体とポアソン核・熱核の情報幾何学

2011 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 21540065
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 伊藤 光弘 筑波大学, 名誉教授 (40015912)
• 連携研究者: 佐藤 弘康 東京電機大学, 情報環境学部, 助教 (00375396)
• 研究期間 (年度): 2009 – 2011
• キーワード: フィシャー情報計量 / ポアソン核 / 熱核 / 確率測度 / ビューズマン関数 / 漸近調和空間 / 体積エントロピー

研究概要

ポアソン核を許容するアダマール多様体Xに対してXからXの理想境界 ∂X 上の絶対連続かつ正値密度を有する確率測度のなす空間P(∂X)への写像, すなわちポアソン核写像φ, のリーマン幾何学・情報幾何学的考察を行った。φがフィッシャー情報計量とXの計量に関して比例的かつ極小的であると仮定すると, ポアソン核がビューズマン関数を肩にもつ指数関数表示でき, その結果Xは漸近調和(すなわち, 各ビューズマン関数のラプラシアンが共通の一定値をもつ)かつ可視的(すなわち, 理想境界∂Xの任意の2点を結ぶ測地線が存在する)である。さらに比例定数の値は各ビューズマン関数の超曲面である各ホロ球の平均曲率に一致することがわかるが, 本研究においてこの比例定数がさらにXの体積エントロピー(各測地球の体積の指数関数的増大度を測る指標)に一致することを示すことができた。

研究成果

• [雑誌論文] Poisson kernel and Asymptotical Harmonicity (2011)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh, Fisher Information Geometry
  • 雑誌名: Diff. Geom. Appl 巻: 29 ページ: S107-S115
  • 査読あり
• [雑誌論文] Information Geometryof Poisson kernels on Damek-Riccispaces (2010)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh
  • 雑誌名: Tokyo Math. Journal 巻: 33 ページ: 129-144
  • 査読あり
• [雑誌論文] 確率測度の空間の調和性とその周辺 (2010)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh
  • 雑誌名: 京都大学数理解析研究所講究録 巻: 1720 ページ: 99-111
  • 査読あり
• [雑誌論文] Fisher Information Geometry, Poisson Kernel and Harmonicity (2010)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh
  • 雑誌名: Journal of Geometry 巻: 97 ページ: 131
  • 査読あり
• [雑誌論文] Seiberg-Wittentheory and the geometric structureR x H^2 (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, T. Yamase
  • 雑誌名: Hokkaido Math. Journ 巻: 38 ページ: 67-81
  • 査読あり
• [雑誌論文] Harmonic Spaces and Fisher Information Geometry (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh
  • 雑誌名: Proc. 13^<th> Intern. Workshop for Diff. Geometry ページ: 27-36
  • 査読あり
• [雑誌論文] Geometry of Bochner Curvature of Kaehler Manifold (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, R. Kawakami
  • 雑誌名: Proc. 13^<th> Intern. Workshopfor Diff. Geometry ページ: 15-26
  • 査読あり
• [学会発表] ホロ球と双曲空間の幾何 (2012)
  • 著者名/発表者名: 伊藤光弘, 佐藤弘康
  • 学会等名: 日本数学会年会
  • 発表場所: 東京理科大学
  • 年月日: 2012-03-26
• [学会発表] Mean curvature of Horospheresand Volume Entropy of an Hadamard Manifold (2012)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh
  • 学会等名: Miniworkshop on Horospheres and Four Dimensional Manifolds
  • 発表場所: Kyungpook National Univ., Korea
  • 年月日: 2012-03-03
• [学会発表] Geometry of Horospheres and Hyperbolic Spaces (2012)
  • 著者名/発表者名: M.Itoh
  • 学会等名: Miniworkshop on Horospheres and Four Dimensional Manifolds
  • 発表場所: Kyungpook National Univ., Korea
  • 年月日: 2012-03-02
• [学会発表] Information Geometry of Hadamard Manifolds (2011)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh
  • 学会等名: Poisson Kernelsand Horospheres
  • 発表場所: Academia Sinica, Taipei, Taiwan
  • 年月日: 2011-12-12
• [学会発表] ホロ球の平均曲率と漸近調和Hadamard多様体の体積エントロピー (2011)
  • 著者名/発表者名: 伊藤光弘, 佐藤弘康
  • 学会等名: 日本数学会秋季分科会
  • 発表場所: 信州大学
  • 年月日: 2011-09-21
• [学会発表] Geometry of Horospheres, Helgason-Fourier Transform over an Hadamard Manifold (2011)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh
  • 学会等名: Miniworkshop in Diff. Geometry
  • 発表場所: Taegu, KyungpookNational Univ., Korea
  • 年月日: 2011-06-03
• [学会発表] Damek-Ricci空間内のホロ球面の主曲率について (2010)
  • 著者名/発表者名: 伊藤光弘, 佐藤弘康
  • 学会等名: 日本数学会秋季分科会
  • 発表場所: 名古屋大学
  • 年月日: 2010-09-24
• [学会発表] Fisher Information Geometry (2010)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh
  • 学会等名: Poisson kernel and Asymptotical Harmonicity, Conferenceof DGA2010
  • 発表場所: Brno, Czech
  • 年月日: 2010-08-28
• [学会発表] Fisher Information Metrics, Poisson Kernels and harmonic Spaces (2010)
  • 著者名/発表者名: 伊藤光弘
  • 学会等名: 九大微分幾何学セミナー
  • 発表場所: 九州大学, 福岡
  • 年月日: 2010-03-16
• [学会発表] Einstein Self-Dual 4-manifolds and Related Topics (2009)
  • 著者名/発表者名: 伊藤光弘
  • 学会等名: 筑波大学微分幾何学研究会
  • 発表場所: つくば
  • 年月日: 2009-12-05
• [学会発表] Geometry of Bochner Curvature of Kaehler Manifolds (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, R. Kawakami
  • 学会等名: 13^<th> Intern. Workshop of Diff. Geometry, Kyungpook Univ
  • 発表場所: Taegu, Korea
  • 年月日: 2009-11-07
• [学会発表] harmonic Spaces and Fisher Information Geometry of Poisson Kernel (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh, H. Satoh
  • 学会等名: 13^<th> Intern. Workshop of Diff. Geometry, Kyungpook Univ
  • 発表場所: Taegu, Korea
  • 年月日: 2009-11-05
• [学会発表] Fisher Information Geometry, Poisson Kernel and Harmonicity (2009)
  • 著者名/発表者名: M. Itoh
  • 学会等名: 9^<th> Intern. Conference on Geometry andAppl
  • 発表場所: Varna, Bulgaria
  • 年月日: 2009-09-07