| 研究概要 |
Mがコンパクトリー群Gの可微分作用をもつときに、D_G(M), L_G(M)およびH_G(M)を,コンパクトな台をもつ同変イソトピーによりMの恒等写像とイソトピックな同変微分同相,同変リプッシッツ同相群および同変同相群全体のなす群とする。これらの群の1次元ホモロジー群を求めることが研究の目的である。
平成22年度はMが余次元1軌道をもつG多様体の場合にH_1(H_G(M))の構造を完全決定して、既に構造を決定してるD_G(M),L_G(M)の構造との関連を調べた。これらの結果は,研究集会で発表してその概略を論文として発表した。この結果から上記の同変微分同相,同変リプッシッツ同相群および同変同相群の範疇の性質が,これら群の1次元ホモロジーに詳細に反映されることが明確になった。今後はMが余次元2以上の軌道をもつG多様体の場合に1次元ホモロジーがどのようになるかを調べることが新たな問題となる。
平成22年度は次にMがlocally standardなトーラスTの可微分作用をもつトーラス多様体の場合にH_1(D_T(M))の構造を決定した。この場合はトーラス多様体の詳細な構造までは、1次元ホモロジーに反映されないことが分かつた。しかしながら軌道を保つ同変微分同相群からなるD_T(M)の部分群を考察すると、トーラス多様体の綿密な構造が1次元ホモロジーに反映されることが分かる。この計算法は一般の軌道を保つ同変微分同相群からなるD_G(M)の部分群の場合にも適用されることが分かり,具体的な計算をすることが今後の1つの問題となる。
また当該年度においては可微分多様体Mに対して、Mの部分多様体Nを保つ微分同相群D(M, N)の一様完全性についても研究を行った。Nの次元が1以上の場合はD(M, N)は完全群となるが、必ずしも一様完全群であるとは限らない。特にNが1次元部分多様体の場合にD(M, N)が一様完全群である条件を決定した。
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