| 研究概要 |
研究実施計画書に記載した次の問題について,小沢哲也との共同研究で解答を得ることが出来た.
CR構造の接触形式を固定すると,プシュードハーミッシアン構造と呼ばれる内積付き複素多様体の奇数次元の対応物となる.この構造の幾何学の基本線形微分方程式系を決定せよというのが問題であり,CR多様体が3次元の場合にその具体的な表示を与えることに成功した.接触構造を標準的なものに固定して,概複素構造を径数づけるものとして,ひとつの複素関数を固定する.そのようなプシュードハーミッシアン構造には,田中-ウェブスター接続が一意的に定まり,その捩率と曲率の消滅が,構造が平坦なものとホモセティックなCR同値となる必要十分条件であることが知られている.
定めた基本線形微分方程式系は,その積分可能条件が,この捩率と曲率の消滅である非線形偏微分方程式系と一致し,この可積分条件の下で,解空間の適当な基底が,ホモセティックなCR同値を与えるものである.解空間に不変な内積を定めることができて,その内積の標準基底がホモセティックなCR同値を与えることを示した.
また関連する問題として,偏微分方程式系を幾何構造と考えて,そのような幾何構造の中で,B,C,D型の単純リー群を対称群とする有限型の幾何構造で,基本的なものの構造を明らかにし,それらをリー・テンソル積構造として定式化した.このような構造に,標準的なカルタン接続を一意的に構成することが出来て,幾何構造,従って形の定まった微分方程式系の同値問題を解決した.
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