| 研究概要 |
シュワルツ微分を係数とする特別な線形偏微分方程式系を与えると,幾何学的構造の平坦条件がその線形偏微分方程式系の可積分条件となり、解達の射影化により、シュワルツ微分を与えた正則変換を再生することが出来る.本研究は,これを高次元化するとともに,接触幾何の分野の中で,さまざまな幾何構造に対して完成し,冪幕零な構造今の一般論に拡張して,それらを,配置空間の一意化問題などに応用するのが目的であった.研究代表者は,連携研究者の小沢哲也との共同研究で,ある幾何学的構造に対して解答を得ることが出来た.
CR構造の接触形式を固定すると,プシュードハーミッシアン構造と呼ばれる内積付き複素多様体の奇数次元の対応物となる.この構造の幾何学の基本線形微分方程式系を決定せよというのが問題であり,CR多様体が3次元の場合に,その具体的な表示を与えることに成功した.接触構造を標準的なものに固定して,概複素構造を径数づけるものとして,ひとつの複素関数を固定する.そのようなプシュードハーミッシアン構造には,田中-ウェブスター接続が一意的に定まり,その振率と曲率の消滅が,構造が平坦なものとホモセティックなCR同値となる必要十分条件であることが知られている.定めた基本線形微分方程式系は,その積分可能条件が,この捩率と曲率の消滅である非線形偏微分方程式系と一致し,この可積分条件の下で,解空間の適当な基底が,ホモセテイックなCR同値を与えるものである.解空間に不変な内積を定めることができて,その内積の標準基底がホモセティックなCR同値を与えることを示した.
さらにルジャンドル織物に対しても,この方法が適用できるかについての研究が進んでいる.
|
