| 研究概要 |
・三次元多様体のHeegaard分解の距離の研究
Heegaard分解の距離に関しては，基本的な性質でまだ明らかになっていなものも数多くある．そのような例の一つとして次の問題がある．
問題：任意の非負整数nに対して，そのdistanceがちょうどnとなるHeegaard分解は存在するか．
本研究ではこの問題に対して肯定的な解答を与えることができた．その際に本質的な役割を果たしたのはSchleimerによって与えられた，（距離の定義の中で出てきた）曲面複体内の測地線の構成方法の一般化であった．これは，曲面複体内に測地線が与えられた時それをより長い測地線に延長するための条件を与えるものであり，この方面の研究の新しい視点を提供していると考えられる．更にこのアイディアに加えてMa-Qiu-Zouによる最近のHeegaard分解に関する仕事の中で用いられているアイディア（具体的には，既存のものとは異なる部分曲面の曲面複体への射影を考える，というもの）を使うことによって，閉三次元多様体のHeegaard分解に関しても，上記の問題に対する肯定的結果が得られている．
・低次元トポロジーの応用に関して
Thurstonは三次元多様体の特性を記述するために多様体Xとその上の自己変換群Gが与えられたとき，それに対応する（G,X）構造と呼ばれる概念を定義した．一方折り紙の世界では宇宙科学研究所に在職していた三浦公亮氏によって考案された「ミウラ折り」と呼ばれる折り紙が世界的に広く知られている．これは数学的には「平面的剛体折り」と定式化されるが，本研究ではトーラス上の相似構造と呼ばれる（G,X）構造を用いることによってこのような「平面的剛体折り」を系統的に作り出す方法を考案した．
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