| 研究概要 |
今年度は、ケーラーリッチ流を標準束が擬正の射影代数多様体で考えたとき、任意のケーラー形式を初期値として、正閉(1,1)カレントとしての大域解が存在することを証明できた。この結果は、Tian-Songによる予想の肯定的な解決を与えるものである。証明はリッチ代入法による逐次近似法を用いるもので、代表者自ら考案した方法であり今後の同様の研究に与えるインパクトは大きいものと思う。さらにこの方法は、射影的複素解析族上のリッチ流の族を考えたときに、それが水平方向の正値性を保つことを示す。これはベルグマン核の多重列調和変動からわかることである。
またコンパクトケーラー多様体が体積同値の場合に、その小平次元が一致することを証明した。これは所謂、飯高予想:複素ユークリッド空間で被覆されるコンパクトケーラー多様体は、有限被覆の任意性を除くと、複素トーラスになる:の部分的な解決を与える。証明は解析的ザリスキ分解を用いて、その特異性の比較を行うことによりなされる。
また、標準測度を用いて、多重標準束の直像の大域生成性を証明した。これは長年懸案であった、予想c_{mn}の肯定的な解決を与える。方法は、計量付標準モデルの空間に、行列式束を構成し、その上の計量を標準測度を用いて構成すること、さらに、それが正の曲率を持つ計量であることを示すことにより証明される。この証明で一番のポイントは標準測度が複素構造の変形でどのように変化するかを見ることで、これはL^2評価により得られる。即ち非線形問題を線形問題の無限列で近似する。
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