| 研究概要 |
「自然数nに対して,どんなグラフがn頂点の完全グラフKnをマイナーとして持つか.」これは,与えられたグラフのある種の稠密度を測る問題であり,たいへん基本的かつ重要な問いである.本問題は,1943年にHadwigerにより提起され,n≧5の場合が解決された.しかしながら,グラフマイナー理論全盛の現在に至っても,n≧6の場合は未解決である.そして,本研究は,この問題について,グラフの曲面への埋め込み可能性を絡めるとどのような事実が導けるかをという問題に取り組んだ.
これまでの研究により,射影平面とトーラスの三角形分割が,K6-マイナーを持つための必要十分条件はただ1つの禁止部分グラフによって特徴付けられることがわかっていた.本研究では,種数2の向き付け可能な閉曲面と種数3,4の向き付け不可能な閉曲面の三角形分割がK6-マイナーを持つための必要十分条件を求めた.(そのためには,数百万個の既約三角形分割のそれぞれについて,K6-マイナーの有無を計算機で求め,それを糸口として,三角形分割の構造を特定してゆくという作業が必要であった.)それらの曲面では,K6-マイナーを持たない三角形分割は,K6-マイナーを持たないトーラスの三角形分割とそのような射影平面の三角形分割を適当に貼り合わせて得られるという事実を述べており,興味深い事実であると言える.現在の手法では,既約三角形分割を用いているため,それらが完全に決定されている曲面しか扱うことができないが,何らかの新手法の開発が切に求められ,それらを今後の課題としたい.
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