| 研究概要 |
本研究では,解析的および数値的な手法を用いて,偏微分方程式系や離散格子系などの,さまざまな無限次元力学系において起こる分岐現象およびホモ/ヘテロクリニック挙動を明らかにする。より具体的には,偏微分方程式系におけるパルス解の分岐に対する解析手法を開発し,偏微分方程式系の精度保証付き数値分岐解析法を確立し,さらに離散格子系を含む無限次元系におけるホモ/ヘテロクリニック挙動を解析的および数値的に解明することを目的とする。
本年度は,まず,可逆的な常微分方程式系におけるサドル型あるいはサドル・センター型平衡点のホモ/ヘテロクリニック軌道によって与えられる,空間1次元偏微分方程式系のパルス解・フロント解に対してサドル・ノードおよびピッチフォーク分岐が起こる条件を,メルニコフの方法を拡張し,embeddedソリトンの存在を証明する研究代表者らの手法のアイデアをさらに拡張して求めた。また,微分ガロア理論によりその分岐の起こる条件について論じ,得られた結果を非線形光ファイバーのモデルに適用し,その有効性を明らかにした。また,着目した解に対する線形固有値問題を数値的に解き,得られた固有関数を用いて中心多様体を数値的に求め,中心多様体の理論を適用して偏微分方程式系の数値分岐解析を行った。一方,前年度に提案した数値計算手法を用いて,Henon-Heiles系等などの具体的な高次元系に対して中心多様体の数値計算を行い,その有効性をさらに明らかなものとした。さらに,これらと類似の理論的および数値的アプローチを用いて,一様磁場中の伸縮可能な,無限に長い弾性棒がカオス的な形状に変形することや非線形光ファイバーに周期構造を付加することによって,存在しなかった帯域にソリトン波が新たに発生することを明らかにした。
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