| 研究概要 |
複素多様体Mに対して,Aut(M)をコンパクト開位相を入れたMPの正則自己同型全体のなす位相群とする.今年度の研究実績として,研究代表者児玉と研究分担者清水は正則自己同型群Aut(M)の位相群としての構造から複素多様体構造が決定されるかどうかという基本的な問題を研究し,2008年にMichigan Math.J.から印刷公表されたn次元単位多重円板Δ^nの特徴付けを与える結果を次のような定理1,定理2に拡張するとともに,正則自己同型群の位相群としての構造を用いて,モデル空間B^k×(C^*)^<n-k>を特徴付けることに成功し,定理3として学術論文に印刷公表した.ただし,B^kはk次元複素ユークリッド空間C^kの単位開球とする:
定理1.Mをn次元連結複素多様体でその正則包として連結スタイン多様体を持つものとする.このとき,もしもAut(M)の位相部分群GでAut(Δ^n)と位相群として同型であるものが存在するならば,MはΔ^nに双正則同値である.
定理2.Mをn次元連結複素多様体Mとし,DをC^n内の有界対称領域とする.Aut(M)の位相部分群Gで次の2つの条件を満たすものが存在すると仮定する:
(1)Mの各点でのGの固定部分群はコンパクトである.
(2)GはAut(D)の単位元を含む連結成分と位相群として同型である.
このとき,MはDに双正則同値である.
定理3.Mをn次元連結スタイン多様体とする.このとき,もしもAut(M)がAut(B^k×(C^*)^<n-k>)と位相群として同型であるならば,MはB^k×(C^*)^<n-k>に双正則同値である.
なお、定理3はA.V.Isaevの論文(J.Geom.Anal.18(2008),795-799)の自然な拡張にもなっている.
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