| 研究概要 |
一般次元の複素力学系の諸問題を,主として多変数複素解析学の手法を用いて解明することを目的として研究を行った.特に,複素数空間あるいは複素射影空間の上の正則写像の反復合成から生ずる力学系の大域的構造を,その分岐点の軌道を通して解明すること,および不動点の近傍における写像の局所的構造と写像の摂動を解明することの両者を関連づけながら研究を進めた.
第一の目的である複素射影空間の上の正則写像から生ずる力学系の解明については,写像の分岐点の軌道を調べ,狭義に有限な分岐点軌道をもつ写像の反発周期点全体が空間内の稠密な部分集合をなすというThurstonの定理の高次元への一般化を完成した.このためにファトゥ写像の特徴づけを考察し,また与えられた写像の反復合成族を支配する普遍分岐被覆面を構成する方法の拡張し,これらの結果を分岐点軌道が空間内で稠密ではない場合への適用を試みた.
第二の目的である高次元正則写像の(半)放物型不動点の構造とその摂動に関する局所理論については,E.Bedford (lndiana University)およびJ.Smillie (Cornell University)と共同研究を進め,所期の成果を得た.特に写像の固有値の一方が1である半放物型不動点に対して,内在的構造から自然に定まる標準化座標(ファトゥ座標)を定め,写像の摂動に関する標準化座標の近似(概ファトゥ座標)を構成した.特に,この応用として,複素2次元のエノン写像の放物型不動点の摂動によってジュリア集合および充填ジュリア集合が不連続的に変化するというインプロージョンの現象を,ジュリア・ラヴォース集合の概念を用いて解明を行った.この結果はBedford, Smillieとの共著論文"Parabolic Bifurcations in Complex Dimension 2"(投稿中)としてまとめた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第一の目標である射影空間上の写像については,基本的結果の拡張を試みている段階である.第二の目標である放物型不動点の摂動に関しては,目的の結果を達成することができ,その成果をE.Bedford,J.Smillieとの共著論文としてまとめることができた.当初の計画の本質的部分は順調に進展している.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もE.Bedford, J.Smillieとの共同研究を継続して行う.その内容としては,これまでのインプロージョンに関する研究の深化に加えて,半放物型写像の安定領域,不安定多様体がパラメータに関して如何に依存するか,またパラメータに依存する吸引的写像族の共鳴が存在する場合の同時標準化の問題を計画している.
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