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楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、電気流動学などへの応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質を、ポテンシャル論的方法により調べることを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
変動指数をもつ関数空間において、Hardy-Littlewoodの極大関数などにおける従前の理論がどのような形で成立するかについて論じた。特に、極大関数はL^1において有界でないため、変動指数p(・)が1に近づくときの極大関数の有界性について調べた。
Alberico-Cianchiの結果の拡張として、Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式をHedbergの方法を用いることにより確立した。この場合において、ルベーグポイントの理論やAdams-Hurri-Syrjanenによる"vanishing exponential integrabihty"と呼ばれる積分平均に関する連続性についても成果を得た。
Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式に関する結果も得た。
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