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楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、電気流動学などへの応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質を、ポテンシャル論的方法により調べることを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
変動指数をもつ関数空間において、ソボレフの不等式がどのような形で成立するかについて論じた。特に、変動指数p(・)が1に近づくとき、極大関数に対する結果を利用して、変動指数をもつオーリッツ空間L^<p(・)>(log L)^<q(・)>に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式に関する結果を得た。ソボレフ関数に対するソボレフの不等式についても成果を得た。
また、変動指数p(・)がソボレフの指数に近づくとき、変動指数をもつオーリッツ空間Lp^<(・)>(log L)^<q(・)>に属する関数のリースポテンシャルに対するTrudingerの指数積分不等式や二重指数積分不等式を確立した。
積分形のMorrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式に関する結果も得た。さらに、変動指数をもつMorrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対する連続性についても論じた。
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