| 研究概要 |
1.(ある種の解析性をもつ)多項式のオーダーで遠方で無限大に発散する電場ポテンシャルV(x)をもつディラック作用素を考える。この作用素のスペクトルは,(適当な条件のもと)実軸全体が絶対連続スペクトルになるが,同じポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素は離散スペクトルのみを持つ。一方,非相対論的極限(光速cを無限大にする)においては,そのシュレーディンガー作用素に何らかの意味で近づくと信じられている。平成22年までに次の結果を得ることができた。ただし,光速cは十分大きいものとする。また,mは考えている粒子の質量である。
(1)正の高エネルギー領域(～mc^2)においては,シュレーディンガー作用素の固有値近くにディラック作用素のレゾナンスが存在する。
(2)負の高エネルギ山領域(～-mc^2)においては,-V(x)をポテンシャルとしてもつシュレーディンガー作用素のレゾナンスの近くにレゾナンスが存在する。
(3)有界領域には,レゾナンスは存在しない。
2.平成23年度に考察した問題:上記で考察した3つの領域は,平面全体からみると非常に小さい領域である。従って,他の領域でのレゾナンスの存在および非存在を調べることを問題とした。
3.平成23年度に得られた結果:光速が十分大きい場合には,ディラック作用素のレゾナンスはあるとすれば,mc^2の近くに頂点をもつある錐と-mc^2の近くに頂点をもつある錐の中にある。すなわち,それ以外には,レゾナン洛は存在しない。
4.レゾナンスの存在に関しては,今までの議論では,光速cの夫きさは,シュレーディンガー作用素の各レゾナンス(固有値)に依存するため,レゾナンスの大域的な性質を解析することができなかった。今後,大域的な性質を調べる必要がある。
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