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2010 年度 実績報告書

直接法による超離散系の数理

研究課題

研究課題/領域番号 21540210
研究機関東京大学

研究代表者

WILLOX Ralph  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 准教授 (20361610)

キーワード可積分系 / セルオートマトン / 超離散系 / 離散系
研究概要

本研究の目標は、超離散系として記述できるセルオートマトンの解を系統的に考察するための手法を打ち立てることである。特に、超離散可積分系を付随のDarboux変換と共に構成するための手法を打ち立て、その手法によって超離散可積分系の厳密解を生成すること及び超離散可積分系に対応するYang-Baxter写像(Yang-Baxter方程式の集合論的な解)の代数的な構造を解明し、そのYang-Baxter写像の対称構造と幾何crystal理論を結びつけることを目的とする。また、超離散系に厳密解として記述できない現象が現れる場合、その現象と普段に離散系や連続系における現象との相違点をコンピュータ・シミュレーションによって明確にする予定である。
本年度は、このプログラムに関して以下の具体的な研究成果を得た。
1.連続KdV方程式の場合に成り立つCrum-Darboux定理の超離散KdV方程式への拡張により、整数全体で定義されている超離散KdV方程式における初期値問題を解くことに成功した。特に、任意の整数上の初期状態が超離散KdV方程式の時間発展によってソリトンの列と速度1で進む「背景」に分離することを示し、一般の背景と単独のソリトンとの相互作用によるphase-shiftを厳密に計算するこたができた。
2.QRT写像の新しい拡張を構成し、それらの不変量が定める「correspondence」という力学系を考察した。一般のcarrespondenceの場合、像の数は指数関数のように急増するが、多項式のような増加を示し、可積分系であるcorrespondenceも存在する。新しく構成した可積分なcorrespondenceによる像の増加率は同一の組み合わせ論的な量で記述できることを示した。
3.高々2つのtau函数で双線形化できる離散可積分系を結びつける様々なMiura変換を考察し、有名なmodified KdV方程式とsine-Gordon方程式の離散化は,実際,同一の離散系であることを判明した。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2011 2010

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (2件)

  • [雑誌論文] Folding transformations and HKY mappings2011

    • 著者名/発表者名
      B. Grammaticos, A. Ramani and R. Willox
    • 雑誌名

      Journal of Nonlinear Mathematical Physics

      巻: 18 ページ: 75-85

    • DOI

      DOI:10.1142/S1402925111001179

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Generalised QRT mappings with periodic coefficients2011

    • 著者名/発表者名
      A. Ramani, B. Grammaticos and R. Willox
    • 雑誌名

      Nonlinearity

      巻: 24 ページ: 113-126

    • DOI

      DOI:10.1088/0951-7715/24/1/006

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Miura transformations and the various guises of integrable lattice equations2011

    • 著者名/発表者名
      B.Grammaticos, et al.
    • 雑誌名

      Journal of Physics A : Math.and Theor.

      巻: 44

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Solving the ultradiscrete KdV equation2010

    • 著者名/発表者名
      R.Willox, et al.
    • 雑誌名

      Journal of Physics A : Math.and Theor.

      巻: 43

    • 査読あり
  • [学会発表] 超離散KdV方程式の解法2010

    • 著者名/発表者名
      Ralph WILLOX
    • 学会等名
      日本数学会・2010年度秋季総合分科会無限可積分系セッション・特別講演
    • 発表場所
      名古屋大学大学院多元数理科学研究科
    • 年月日
      2010-09-24
  • [学会発表] Solving the initial value problem for the ultradiscrete KdV equation2010

    • 著者名/発表者名
      Ralph WILLOX
    • 学会等名
      Integrable Systems and Geometry, ICM 2010 Satellite Meeting
    • 発表場所
      ポンディチェリ・インド
    • 年月日
      2010-08-16

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公開日: 2012-07-19  

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