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比較的古くから組合せ論の研究対象であったランダム平面分割は、近年、ゲージ理論の厳密解、Gromov-Witten不変量、ミラー対称性などに関連する数理物理の新たな研究対象になっている。さらに、最近、可積分系とのつながりも見出されている。ランダム平面分割における可積分構造と幾何学的構造について、既に同定されている量子トーラス対称性などを用いて、そのさらなる理解と応用とを現実的に追求することが、この研究の目的である。
本年度は、
1.ランダム平面分割の可積分構造をU(N)理論まで包含する形式に拡張することを行った。ランダム平面分割からのSU(N)ゲージ理論のネクラソフ分配関数の導出とU(1)理論を記述する無限格子の戸田階層の特殊解の関係を量子トーラス対称性の視点から明らかにした。可積分構造として、変形KP階層のN-簡約(Drinfeld-Sokolov階層の一種)を予想しており、現在、詳細を詰めている。
この問題とも関係して、
2.ランダム平面分割の分配関数が従う付加条件を求め、その明示的な式を求めることが重要である。熱力学極限で現われるリーマン・ヒルベルト問題から、分配関数の特徴付けのヒントが得られる可能性があり、熱力学的極限の問題を再考している。リーマン・ヒルベルト問題の新しい演繹的な解き方が得られ、現在、論文にまとめている。
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