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前年度までに、4点関数までの1ループ積分は、質量が0であるか否かによらない一般的な場合、しかも任意の時空の次元に対し、多変数の超幾何関数のクラス、LauricellaのFDおよびAomoto-Gelfand型の超幾何関数により表されることがわかった。しかも、それらは展開により数値計算可能となることがわかった。より一般的な多重ループ積分は、GKZ超幾何関数により表されることが知られている。しかしながら、これらはあまりに一般的であるため、個々のパラメタ-の値に対して具体的な数値計算により値を求めることが困難である。一方この関数は、佐藤-Bernsteinのb関数およびP作用素を使うことにより、より特異性の低い帰着することが予想される。
今年度は、このb関数およびP作用素を具体的に求めるため、大阿久のアルゴリズムを数式システム中に実装した。これにより、実際に2ループ2点関数のいくつかについてb関数およびP作用素を求めた。内線を、等しい質量をもつ粒子が通る場合、日の出型の2ループ2点関数では、P関数は1次微分までを使って具体的な式として書くことができた。通常の部分積分を用いることにより、被積分関数の分母の次数が1つ低く特異性の緩められた積分と、積分の次元が低い表面項とで表されることがわかった。同時にP作用素の係数の特異点が閾値の特異点に対応することも明らかとなった。また、より複雑な2ループ2点関数の場合についてもb関数およびP作用素を特定のパラメタで求めることができた。この場合にはP作用素は高次の微分作用を含む巨大な表式となるため、実用的な数値計算に用いることは困難である。しかしながら、非線形な変数変換によりb関数およびP作用素が簡単になる場合があり、これを用いることにより、実用的な数値計算に応用する可能性がある。
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