| 研究概要 |
半無限旗多様体上のD加群の理論の構築において,W代数の考察が不可欠なことが明らかになってきたので,W代数の研究を開始した.まずトイ・モデルとしての有限W代数の表現の幾何理論についての考察を行った.この方面では,ギンツブルグとロセフによる先行する研究がある.ギンツブルグは非可換代数幾何の枠組みを用いているが,ロセフは変形量子化を用いて幾何的対象を構成している.これらの2つのアプローチの間には関係があるものと思われるので,それについて考えたが,決定的な結果はまだ得られていない.また,有限W代数の表現は有限次元単純リー代数のある種の表現と対応しており,これを用いて,これまでは最高ウェイト加群を用いてなされていた包絡代数の原始イデアルの理論の再構成ができるのではないかと期待されている.これの幾何的側面の考察を行い,その結果,漸近ヘッケ環がある有限集合の同変K群と一致するという事実(ルスティックの予想,席・ベズルーカヴニコフらの定理)の幾何学的意味づけが,W代数を用いてできるのではないかとの着想を得た(なお,これに近いことはロセフも述べている).予想らしきものは定式化できたが,まだ試行の段階である.また,この問題は,最高ウェイト加群の完備化に対応するW代数の表現を求める問題とも関連している.後者については1980年代の松本久義による研究があるが,実際の決定のアルゴリズムはわかっていない.上述の着想が具現化されれば,この問題も解決されるのではないかと期待される.以上述べたのは有限W代数に関することであるが,アフィンW代数での対応する問題は,さらに多くのチャレンジングな部分を含んでおり,今後の課題である.
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