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空間に対するA∞構造の定義は、実は2種類存在し,両者ともがJ. D. Stasheffによるものである。一方は厳密な単位元の存在を要請するのにも関わらず、他方はホモトピー単位元しか必要としない。これに対して、ホモトピー単位元を持つA∞空間が、別の厳密な単位元を持つA∞空間にホモトピー同値となるという意味でこの問題に決着を付けられた。さらに、two-sidedBorelconstructionをA∞作用の場合に拡張し、通常の作用をホモトピー的に変形してもA∞作用の意味で全くコホモロジー論的な扱いに違いが生じないことを見いだした。
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