| 研究概要 |
形態形成モデルを2次元有界領域で考えることにより,境界上にピークを持つ解の運動を抜き出し,その妥当性を厳密に証明した.それにより,境界上。曲率が極大の点に向かいピーク位置が運動することが明らかになった.また境界上に複数のピークが存在する場合,それらは互いに反発的に相互作用することを示した.前者の運動と組み合わせることにより,境界上の曲率極大の点を挟んで両側にピークを持つような安定定常状態の構築に成功した.これはまだ知られていないタイプの解である.さらに複数のピークを持つ解の挙動についても考察中であるが,まだ統一的な結果は得られていない.これらの問題は本研究目的の一つ,界面方程式を考察する上で重要な情報であり,境界の曲率と固有値,固有関数の間の関係を調べるために有効であると期待される.一方それらと平行して,1次元半区間上で境界条件が解の挙動に与える影響を調べた.これは応用上,実験等で外部からコントロールできるもっとも容易なものの一つが境界条件であるという観点から,境界条件が内部の解に与える影響を調べることは大変有用であると考えた.境界条件の影響を定量的に調べるため,境界条件にパラメータを導入し分岐論的に考察した.その結果,ある臨海値が存在して,その値より小さいときは解は境界に近づくが,それを超えると逆方向に運動を始めることを示すことができた.また挙動が替わるパラメータ値の近傍を詳細に解析した結果,これまでに知られていなかった新しい安定解の存在を示すことができた.これは境界からコントロールすることにより,内部のほぼ希望する位置に安定パターンを構築することができる可能性を示唆しており,今後の発展と応用が期待される結果といえる.
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