| 研究概要 |
非線形分散型方程式は,分散性と非線形相互作用が共存する波動現象を記述する方程式であり,水面波,プラズマ,レーザなどの現象で現れる.その解の性質に関する研究には,関数解析,調和解析などを用いられている.本研究の目的は,主に非線形シュレディンガー方程式やKdV方程式に対して,初期値問題の可解性,解の大域的な性質に関する数学的の解明を通して,非線形分散型方程式の偏微分方程式論的な理解を深めることである.
本年度は,解の大域的性質を理解するモデルとして,空間2次元以上の場合の非線形シュレディンガー方程式解を取り上げ,指数が1より大きいソボレフ空間に属する解に対して大域的ソボレフ増大ノルムの研究を行った.指数が1の場合はエネルギー空間に対応し,この場合はエネルギー保存則から解の先験評価式が得られる.一方,1より大きな指数に対しては保存則が存在せず,解の一様な大域評価式は期待されない.今回は,これまでに得られた空間2次元における3次の非線形項に対する方法を拡張し,2次の非線形項に対してもソボレフノルムが増大する解の存在を証明することに成功した.
|
