| 研究概要 |
波の分散性を伴う非線形波動現象を記述する非線形分散型方程式に対して,初期値問題の可解性,解の大域的な振る舞いを研究した.分散性波動は,波の位相速度と波動エネルギーの伝播速度が振動数によって異なる.ここに,振動数の違いがどのように非線形相互作用に寄与するか調べることは重要となる.本年度は,このような研究に着目して,微分型非線形シュレディンガー方程式の解の存在定理に関する成果を得た.
ソボレフ指数1/2よりも低い微分指数のソボレフ空間において,解の時間局所的先験評価式を構成し,解の存在定理を証明した.指数1/2は統計的な不変測度空間と密接に関係しており,そのような関数空間で解の存在を論じることは重要である.
ここでは,波を振動数に関して分解し,振動数の違いがどのように非線形相互作用するか,そのメカニズムを非線形評価式によって解析した.非線形相互作用においては,解の特異性を特徴付ける,振動数間の共鳴場は相殺されることを見出した.ここで得られた解の一意性は,ある付加条件に下で与えることができるが,その条件が必要であるかどうかは今後の課題とした.
本結果は論文「A priori estimates and weak solutions for the derivative nonlinear Schr\"{o}dinger equation on torus below $H^{1/2}$」として準備中である.
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