| 研究概要 |
与えられた離散群が測度同値に関して剛的であることを証明することは、その離散群を格子部分群として含むような位相群を決定するという問題への応用があるのみならず、エルゴード理論やフォン・ノイマン環の理論における剛性理論と密接に関連があり、このような理論の発展において極めて重要な役割を果たす。平成21年度は、ある種の融合積で剛性をもつものの構成について研究した。そのような融合積の一つ目の例として、二つのSL(3,Z)をある極大放物型部分群上で融合することで得られる群が挙げられる。これまで知られていた剛的な群は、Lie群の格子部分群や曲面の写像類群など、全て自然なものばかりであり、人工的に剛的な群を構成するという試みは本研究において初めて達成きれた。さらに、Kazhdanの性質(T)を満たす二つの離散群をある条件下で融合することで得られる離散群と測度同値になる離散群Gは、その融合積に付随する樹木に作用することを証明した。この作用を利用することにより、Gの構造をある程度知ることができ、さらに、Gのエルゴード作用に関する軌道同型剛性定理を証明することができる。剛的な群の二つ目の例として、一つ目の例で構成した剛的な群を二つ用意して、それらをさらに融合させることで得られる群が挙げられる。このような群は、Kazhdanの性質(T)をもたない二つの群の融合積で剛的なものの例となる。以上の結果は、二つの剛的な群が与えられたとき、それらを使って剛的な群を構成する方法を提供し、多くの剛的な群の発見を期待させるものである。
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