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Milnorによってガンマ関数の一般化が導入されたが(以下これをMilnorガンマ関数と書く)、ゼータ正規化積の観点から見れば、それはガンマ関数の"higher depth"版と見ることができる。これを踏まえ本年度は、"一般の深さのゼータ正規化積"と呼ぶべき以下の対象に対して、それぞれ次のような研究を行った。
1、高次元球面上のラプラシアンに対する"一般の深さの行列式"の研究:
現在までの研究で、それは多重ガンマ関数の冪の積商で書けることが分かっている。この冪の部分に対して、それらの母関数を研究することで、より明示的な表示を得ることができた。
2、負定曲率のコンパクトリーマン面上のラプラシアンに対する"一般の深さの行列式"の研究:
現在までの研究で、それは多重ガンマ関数と、"Milnor-Selbergゼータ関数"と呼ぶべき関数(Selbergゼータ関数の一般化)で書けることが分かっている。この関数は一般に多価関数なので、その解析は非常に難しい。しかし、"一般の深さのゼータ正規化積"の一般論を展開することで、リーマン面上の関数とみれば、それはSelbergゼータ関数同様関数等式等の良い性質を満たすであろうことが分かってきた。これは現在も継続して研究中である。
3、Hecke L関数の零点に関する"一般の深さのゼータ正規化積"の研究:
2の数論的な類似として、Hecke L関数の零点に関する"一般の深さのゼータ正規化積"を計算し、それがMilnorガンマ関数と"ポリHecke L関数"と呼ぶべき関数(Hecke L関数の一般化)で書けることが分かった。これはDeningerの結果の一般化を与える。また、上記ポリHecke L関数については、その反復積分表示を導き、それが解析接続を与えることも確かめた。以上は九州大学の若山正人氏との共同研究で、論文にまとめて現在投稿中である。
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